排序算法——归并排序

归并排序

描述：

归并排序——递归法，采用分治策略，是创建在归并操作上的一种有效的排序算法。

代码如下：

public static void mergeSortAscend(int[] array, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        mergeSortAscend(array, low, mid);
        mergeSortAscend(array, mid + 1, high);
        mergeAscend(array, low, mid, high);
    }
}
private static void mergeAscend(int[] array, int low, int mid, int high) {
    int length1 = mid - low + 1;
    int length2 = high - mid;
    // 数组容量+1，用来在数组最后存放哨兵（哨兵可减少多余的判断）
    int[] left = new int[length1 + 1];
    int[] right = new int[length2 + 1];
    int i;
    int j;
    for (i = 0; i < length1; i++) {
        left[i] = array[low + i];
    }
    left[length1] = MAX_INFINITY;
    for (j = 0; j < length2; j++) {
        right[j] = array[mid + j + 1];
    }
    i = 0;
    j = 0;
    right[length2] = MAX_INFINITY;
    // 合并两个数组
    for (int k = low; k <= high; k++) {
        if (left[i] > right[j]) {
            array[k] = right[j];
            j++;
        } else {
            array[k] = left[i];
            i++;
        }
    }
}

算法分析：

递归式：$T(n)=\{\begin{array}{l}\Theta (1),若n<=c\\ aT(n/b)+D(n)+C(n),其他\end{array}$

分解：分解步骤需要计算子数组的中间位置，需要常量时间，$D(n)=\Theta (1)$

解决：递归求解两个规模均为n/2的子问题，需要$2T(n/2)$的运行时间

合并：一个具有n个元素的子数组上执行merge需要$\Theta (n)$的时间，所以$C(n)=\Theta (n)$

归并排序递归式：$T(n)=\{\begin{array}{l}\Theta (1),若n<=c\\ 2T(n/2)+\Theta (n),其他\end{array}$

求解递归式：

主方法求解递归式：$a=2,b=2,f(n)=n$

$\because f(n)=\Theta (n^{{\log }_{2}2})$

$\therefore T(n)=\Theta (n^{{\log }_{2}2}\lg n)=\Theta (n\lg n)$

时间复杂度：$\Theta (n\lg n)$

空间复杂度：$O(n)$