从二进制经典题“8瓶中有1瓶有毒，最少需要几只小鼠”来看进制思想

摘要

本文从头开始推理了这道经典题目，并简单地与二进制思想做了对比。

正文

偶然间又看到这样一道经典题目——“8瓶酒一瓶有毒，用小鼠测试。每次测试结果8小时后才会得出，而你只有8个小时的时间。问最少需要（）人测试？ ”

大多数马上就会反应到这就是个典型的10进制转2进制的题。我还好，我也想到这个方向了，但我还是没有想到如何在这个方向上解出来这个题。所以自己试着从头开始推断一下。

起初我是这么想的，既然是要找至少多少只，那先来8只，怎么用？很简单，1只试1瓶，看哪只有反应。

有7只该怎么用？也简单，1~7号小鼠喝1~7号瓶里的水，8号瓶不用，若1~7号小鼠里有反应，也可知有毒的在1~7号瓶里，若无反应，则8号瓶有毒。

有6只该怎么用？可以这么用：

鼠1	鼠2	鼠3	鼠4	鼠5	鼠6
1	2	3	4	5	6
2	3	4	5	6	7

 

让1号鼠号1、2号瓶，2号鼠喝2、3，...，6号鼠喝6、7号瓶。这样，若1号瓶或7号瓶有毒，则只会出现“鼠1或鼠6分别会有反应”这两种情况；若2号瓶有毒，则只会出现“只有鼠1和鼠2有反应”这一种情况；若3号瓶有毒，则只会出现“只有鼠2和鼠3有反应”这一种情况；...；若6号瓶有毒，则只有鼠5和鼠6会出现反应；若小鼠们都没反应，那就是8号瓶有毒了。

有5只该怎么用？与上同理，如表格所示：

鼠1	鼠2	鼠3	鼠4	鼠5
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7

让1号鼠号1、2、3号瓶，2号鼠喝2、3、4，...，5号鼠喝5、6、7号瓶。这样，若1号瓶或7号瓶有毒，则只会出现“鼠1或鼠5分别会有反应”这两种情况；若2号瓶有毒，则只会出现“只有鼠1和鼠2有反应”这一种情况；若3号瓶有毒，则只会出现“只有鼠1、鼠2和鼠3有反应”这一种情况；若4号瓶有毒，则只会出现“只有鼠2、鼠3和鼠4有反应”这一种情况；若5号瓶有毒，则只会出现“只有鼠3、鼠4和鼠5有反应”这一种情况；若6号瓶有毒，则只会出现“只有鼠4和鼠5有反应”这一种情况；若小鼠们都没反应，那就是8号瓶有毒了。

有4只该怎么用？与上同理，如表格所示：

鼠1	鼠2	鼠3	鼠4
1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

让1号鼠号1、2、3、4号瓶，2号鼠喝2、3、4、5，...，4号鼠喝4、5、6、7号瓶。这样，若1号瓶或7号瓶有毒，则只会出现“鼠1或鼠4分别会有反应”这两种情况；若2号瓶有毒，则只会出现“只有鼠1和鼠2有反应”这一种情况；若3号瓶有毒，则只会出现“只有鼠1、鼠2和鼠3有反应”这一种情况；若4号瓶有毒，则只会出现“鼠1、鼠2、鼠3和鼠4有反应”这一种情况；若5号瓶有毒，则只会出现“只有鼠2、鼠3和鼠4有反应”这一种情况；若6号瓶有毒，则只会出现“只有鼠3和鼠4有反应”这一种情况；若小鼠们都没反应，那就是8号瓶有毒了。

有3只小鼠呢？从这里开始我犯了个错误，先按下不说，等分析完了再看到底错在哪里。与上同理，如表格所示：

鼠1	鼠2	鼠3
1	2	3
2	3	4
3	4	5
4	5	6
5	6	7

仔细观察会发现，当3号、4号、5号瓶有毒时，都会出现“鼠1、鼠2和鼠3都会有反应”这种情况，失去了唯一表示的原则，所以3只小鼠是不够的，至少需要4只。

我错在哪里了呢？我错在了思维发生了惯性，简单地让每只小鼠增加喝的瓶数，而没有认识到“每个瓶要有情况对其唯一表示”这一原则。返回来再看3只小鼠的情况，我可以这么用：

鼠1	鼠2	鼠3
1	2	3
4	4
5		5
	6	6
7	7	7

我突然发现，我在想到这种方法时，是利用了逆向思维，即若X号瓶有毒，我怎么来表示。

若1号瓶有毒，则我只用1号鼠做反应，即让1号鼠喝1号瓶；

若2号瓶有毒，则我只用2号鼠做反应，即让2号鼠喝2号瓶；

若3号瓶有毒，则我只用3号鼠做反应，即让3号鼠喝3号瓶；

若4号瓶有毒，则我用鼠1和鼠2做反应，即让鼠1和鼠2喝4号瓶；

若5号瓶有毒，则我用鼠1和鼠3做反应，即让鼠1和鼠3喝5号瓶；

若6号瓶有毒，则我用鼠2和鼠3做反应，即让鼠2和鼠3喝6号瓶；

若7号瓶有毒，则我用鼠1、鼠2和鼠3做反应，即让鼠1、鼠2和鼠3喝7号瓶；

若8号瓶有毒，我不用小鼠做反应，即小鼠们都不喝8号瓶。

这样就出现了如表格所示的情况，鼠1喝了1、4、5、7；鼠2喝了2、4、6、7；鼠3喝了3、5、6、7。

直接用二进制的思想来做的话，是这样，编号瓶为0、1、2、3、4、5、6、7；鼠为a、b、c。

鼠a	鼠b	鼠c	瓶
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

0表示没喝，1表示喝了。这样也可以对各个瓶的情况做唯一的表示。

总结

这两种方法有什么相同和不同之处呢？相同之处在于二者都是利用了“各个瓶的情况唯一表示”这一原则，不同之处在于具体的表示方法，后者是前者的规范化、标准化后的成果。前人之学也是这么不断的摸索出来的吗？深需我辈努力学习啊。