《自动控制原理与设计（第5版）》读书笔记

Franklin G F . 自动控制原理与设计: 第5版[M]. 人民邮电出版社, 2007.

《自动控制原理与设计（第5版）》读书笔记

动态模型

反馈控制的总体目标——使动态过程的输出变量精确地跟随我们给出的参考变量。第一个步骤是获取被控过程的数学描述，称为动态模型。对于控制工程师来说，模型这个词就相当于一组描述过程的动态行为的微分方程。我们可以根据基础物理学原理获取系统的模型，也可以通过运用期间的原型，测量原型对输入的相应，利用得到的数据建立分析模型。或者还可以利用实验的方法确定系统的模型，有时候称之为系统辨识。

电路模型

节点分析法——先选择一个节点作为参考点，并假设其他节点的电位都是不知道的，理论上参考节点的选择是人一多额，但在实际电路中，公共端或接地端通常是标准的选择。然后通过电流定律对每个节点列写关于未知量的方程，根据各元件的物理关系消去我们不关心的未知量，只留下选择的未知量。如果电路中含有电压源，我们必须对这个电压源使用电压定律。

动态响应

系统响应

对设计是否很好地满足设计要求作出评价，而这可以通过求解系统模型的特征方程来实现。
两种方法来求解动态方程，较快的一种是运用线性分析技术的近似分析法，另一种是求解非线性运动方程的数值分析法。
可以在三个领域中研究系统的动态响应：s平面，频率响应和状态空间。

拉普帕斯变换

线性时不变系统的以下两个性质是分析大多数系统的基础：
（1）线性系统响应满足叠加原理
（2）线性时不变系统的相应可以表示为输入与系统单位脉冲响应的卷积。——线性时不变系统对指数形式的输入的相应也是指数形式的，这时我们可以使用傅里叶变换和拉普拉斯变换来分析线性时不变系统的理论基础。

卷积响应

叠加原理：如果系统的输入可以表示为一系列信号之和，那么其相应也可以表示为各个信号单独作用于系统的响应之和。
运用叠加定理，我们可以求出系统在各种基本信号输入下的响应，也可以求出系统在一般信号下的响应，我们可以先把一般的输入分解为简单的额基本信号，然后由叠加原理得到一般信号的响应也就是分解得到的各个基本信号的响应之和。通常情况下，线性系统分析所用的基本信号是脉冲信号和指数函数信号。

脉冲

一个持续时间很短的强烈的作用过程。物理学家认为这个作用力可以用数学意义上的脉冲函数来描述：

也就是过程非常短，但强度非常大，因此f在脉冲以外的区域就没有值存在。
函数f可以被表示为一系列脉冲之和（函数都可以表示为，所有的脉冲响应的和）：

这就是叠加积分，（只适用于线性时不变系统）。
上式还可以表示为：

(3-3称为卷积积分（以上的变化都是在用叠加积分的形式，那么，卷积积分是否只能用于线性时不变系统？）。
一阶系统脉冲响应可以表示为：

其中，1(t)为单位阶跃函数。

传递函数与频率响应

系统的传递函数定义为，系统从输入U(s)到输出Y(s)（即从输入到输出）之间的传输增益H(s)，它是输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之间的定义。
当初始状态为零，输入单位脉冲信号，则输出的就是其传递函数。因此系统的传递函数H(s)也就是系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换。
这样如果我们想确定一个线性时不变系统，只需要加上单位脉冲响应，那么得到的相应也就是系统的传递函数的额一种表现形式。（拉普拉斯反变换形式）

对于给出了同时有输入和输出变量的隐式，在求传递函数时，可以将输入信号函数乘以传递函数H(s)替换式中的输出变量，进而化简计算得到传递函数。

频率响应
将传递函数的s替换为jw，即可求出幅值和相角。
正弦输入信号的频率响应为

其中，

M为振幅比，φ为相位，它们都是输入频率ω的函数。
【matlab中波特图画法程序】

拉普拉斯变换常用于研究反馈系统的全响应，包括瞬态响应：几系统对初始条件或突然事假信号的时间响应，这与傅里叶变换刚好相反，傅里叶变换主要关注系统的稳态响应。

对于给定的线性系统，其传递函数为H(s)，输入信号为u(t)，应用拉普拉斯变换来确定y(t)可以分为以下几步：

拉普拉斯变换

单边拉普拉斯——通常是指用0-作为下限进行积分，而由于一般0-与0的差别不大，所以就是用0作为积分下限进行积分了。原因没看懂。

另外一种单边拉普拉斯，在某些场合也会用到。
实际中，人们会将一些复杂的拉普拉斯变换式分解成较为简单的式子之和，然后分别查表求得相应的时间响应。

拉普拉斯变换的性质

1.可加性（线性）
2.时延性
3.时间变换
4.频率变换
5.微分
6.积分——其实就是乘以1/s
7.卷积
8.时间域
9.频域微分

部分分式求拉普拉斯反变换

部分分式展开：将F(s)展开为许多可以在表中差到的简单项之和。
有理函数的一般形式是两个多项式之比

因式分解后，可以表示为

部分分式的形式

进而用消去法得到系数集

终值定理

通过这一定理我们能够算出一直拉普拉斯变换的时间函数的稳态值。

DC增益指系统瞬态响应分量衰减为零之后，其输出与输入（设为常值）之比。

极点和零点

系统的极点决定了系统稳定性，也决定了系统的自然属性或非强迫属性，即系统的模式。零点和极点可能为复数量，我们可将它们的位置标识在复平面中，我们将这样的复平面称为s平面。
复数极点一般可以由其实部和虚部来定义为

由微分方程得到此的传递函数通常可以写成多项式的形式

时域特性

动态响应中零极点模式的影响

稳定性

对于线性时不变系统，若其传递函数分母多项式的所有跟都具有负实部（即它们都位于s平面左半平面），那么该系统为稳定的，否则该系统是不稳定的。
系统的稳定性由特征方程根的位置来确定：

劳斯稳定判据

系统稳定的必要（非充分）条件是特征多项式的所有系数都为正。
当且仅当劳斯稳定阵列第一列所有元素都为正时，系统才是稳定的。
劳斯稳定判据计算示例：

反馈的基本特点

给定了一个模型后，设计的下一个步骤就是明确地描述这个控制所要达到的目标。在保证系统稳定性的同时，控制的目标还包括以下几个静态要求和动态要求：

• 在有恒定偏差的干扰信号存在的场合，所允许的稳态误差；
• 在跟踪多项式参考信号（例如节约信号或斜坡信号）时，所允许的稳态误差。
• 系统传递函数对系统参数改变的灵敏度；
• 在参考输入或干扰输入下，节约响应所允许的瞬态误差。

反馈可以改变系统的动态响应，提高系统的快速性，但会降低系统的稳定性。

稳态系统的控制：系统类型

根据使得系统的稳态误差为非零有限常数的输入多项式的次数，我们可以对各种稳定系统进行划分系统类型。
确定一个系统的类型先要计算系统误差的传递函数，然后利用终值定理计算系统的稳态值。

动态误差的控制：PID控制

比例控制（P）

当反馈控制信号与系统误差成线性比例时，就是比例反馈。
设计者可以控制比例控制传递函数特征方程的常数项即系统的自然频率，但不能同时控制方程的阻尼系数。如果常数项选得较大以得到合适的稳态误差，那么阻尼系数可能会太低而不能获得满意的稳态响应。。

比例加积分控制（PI）

比例积分反馈的最主要优点在于，当系统达到稳态的时候，即使作为控制器输入的误差信号为零，其输出值也可以是非零常数。这是因为控制信号中的积分项是对误差的过去所有制的累加。

比例积分微分控制（PID）

微分控制项的作用效果决定于误差输入的变化速率。
将微分环节放在反馈回路，系统的参考输入没有参与微分，因此当参考输入发生突然的变化时，我们可以得到更为平稳的控制器输出。如果把微分环节放在前向通道，理论上参考输入的阶跃变化将引起控制信号产生一个强烈的初始脉冲。

基本反馈概念的扩展

控制器的数字实现

数字控制器与模拟控制器的不同之处在于，数字控制器的信号必须经过采样和量化。

建立与给定模拟控制器等效的离散控制器，也就是已知模拟控制器的传递函数，然后要找一个离散控制器来替代这个模拟控制器。这个离散控制器接受采样器的采样信号，并利用以前的控制信号值，以及当前的和过去的输入采样值，计算出下一个控制信号，然后送往执行器。

在离散系统中，我们对照连续系统的微分算子s以及拉普拉斯变换，引进预测算子z以实现相应的离散变换。这里我们定义算符z为前移算子
梯形准则

PID控制器参数的ZN整定法

很大一部分过程控制系统的阶跃响应都表现为一条过程反应曲线

参数确定方法一：
闭环系统阶跃响应的瞬态部分的衰减比约为4:1。也就是说，系统的振荡幅度在一个周期内减小为原值的1/4。这时系统响应的快速性以及系统的稳定性都比较好。
此时的控制参数计算方法

参数确定方法二：
稳定边界法：这种方法是基于系统处于临界稳定状态时的振荡幅值和振荡周期。
具体步骤：
先取比例增益为足够小的人一直，并零控制器的积分环节和微分环节为零，然后逐渐增大比例增益，直到系统进入连续振荡的状态（不要让振荡的幅值没有超过执行部件的饱和值）。此时，控制器的增益定义为Kn（称为临界增益），振荡周期定义为Pu（临界周期）。其中Pu应该在系统的振荡幅值趋近于最小的时候测量。

根轨迹法

可以展示通过修改系统参数会如何改变闭环系统的特征根进而影响系统的动态响应。
通常用于研究环路增益变化时所带来的影响。

闭环传递函数的特征方程可以化为下式时，

L(s)是D(s)G(s)H(s)的最简分式，K是控制器的增益。根轨迹就是所有根随K从0变化到无穷过程中的轨迹，使用所得的根轨迹可以帮助我们选择最好的K值。通过研究根轨迹中增加零极点的作用，就可以确定对回路中D(s)动态补偿效果。

绘制一条根轨迹

将L(s)中的a(s)和b(s)分别表示为首一多项式，分子为m次b(s)，分母为n次a(s)，有n>=m


上式都被称为根轨迹形式

绘制根轨迹的指导原则

所谓的根轨迹是指，当参数K从0变化到+∞的过程中，满足方程1+KL(s)=0的s值的集合，这里1+KL(s)=0一般是某个系统的特征方程，在这种情况下，这些在根轨迹上的跟也就是该系统的闭环极点。

根轨迹的相位条件
L(s)的根轨迹是s平面上L(s)的相位等于180度的所有点的集合。即：s平面上满足下面条件的所有点，其中l取整数

第二定义的优点在于，当手工计算一个高阶多项式的根非常困难时，看冲入传递函数的相位则要相对简单一些，通常情况下K值为正实数，称为正轨迹或者180度轨迹。当K为负实数时，称为负轨迹或者0度轨迹。

（用这个方法可以判断一个点是否在轨迹上）

增加零点可以将根轨迹拉向左半平面，设计步长时每个根都有全局影响力。

增加的几点从左侧无穷远处逐渐向给定的根轨迹移动时，将会把根轨迹的分支推向右方。