数据库总结（六）

关系数据理论

6.1 问题的提出
（1）关系数据库逻辑设计
针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式
数据库逻辑设计的工具──关系数据库的规范化理论
（2）关系模式由五部分组成，是一个五元组：            R(U, D, DOM, F)
6.1.1 问题的提出
关系名R是符号化的元组语义
U为一组属性
D为属性组U中的属性所来自的域
DOM为属性到域的映射
F为属性组U上的一组数据依赖
由于D、DOM与模式设计关系不大，因此在本章中把关系模式看作一个三元组：R
当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式R的一个关系
作为二维表，关系要符合一个最基本的条件：每个分量必须是不可分开的数据项。满足了这个条件的关系模式就属于第一范式（1NF）
6.1.2 属性间的联系
 （1）一对一联系
设X，Y为关系中的属性或属性组，它们的所有可能取值组成两个集合。如果对于X中的任一具体值Y中至多有一个值与之对应，称X，Y这两个属性之间是一对一联系。
例：在读者关系中，借书证号是唯一的，如果读者没有重名的，姓名与借书证号两个属性之间是1：1联系。姓名可以确定借书证号，借书证号也可以确定姓名。
（2）如果属性值集合X中的任一个具体值，至多与Y中的一个值相对应，而Y中的任一个具体值却可以和X中的多个值相对应，则称两个属性间从X到Y为m:1的联系或从Y到X是1:m的联系。
注意:这里指的是属性值个数的多少，而不是具有相同属性值的有多少个元组，二者正好相反。
例：在图书关系中，一本书有若干副本，它们有相同的书名、作者、分类号等，但每本书有唯一的总编号。书名与总编号之间是1:m，即同一个书名，有多个总编号与之对应。（）
（3）多对多联系
在X，Y两个属性值集中，如果任一个值都可以至多和另一个属性值集中多个值对应，反之亦然，则称属性X和Y是m：n关系。
例：在借阅关系中，一个读者可以借多本书，即同一个借书证号有若干个图书总编号与之对应。由总编号标识的一本书在不同日期可以被不同的读者借阅。
（4）数据依赖
是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系
通过属性间值的相等与否体现出来的数据间相互联系
是现实世界属性间相互联系的抽象
是数据内在的性质
是语义的体现
（5）数据依赖的主要类型
函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）
多值依赖（Multi-Valued Dependency，简记为MVD）
6.2  规范化
规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。
6.2.1 函数依赖
1.  函数依赖

1.定义6.1  设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。
2.函数依赖与属性间的联系类型有关
(1) 一对一联系：X←→Y
(2) 多对一联系：X→Y
(3) 多对多联系：不存在依赖关系
(4) 可从属性间的联系类型来分析属性间的函数依赖 
说明： 
1. 函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。
2. 函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。
    例如“姓名→年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立
3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名→年龄”成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在， 则拒绝装入该元组。

2. 平凡函数依赖与非平凡函数依赖
X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。
例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，
            非平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Grade
            平凡函数依赖：     (Sno, Cno) → Sno 
                                          (Sno, Cno) → Cno
若X→Y，则X称为这个函数依赖的决定因素（Determinant）。
若X→Y，Y→X，则记作X←→Y。
若Y不函数依赖于X，则记作X↛Y。
3. 完全函数依赖与部分函数依赖
定义6.2  在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ ↛ Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作X → Y。
若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作X → Y
[例] 在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，有：
 由于：Sno ↛Grade，Cno ↛ Grade， 
         因此：(Sno, Cno)  →   Grade
 (Sno,Cno)→Sdept是部分函数依赖
              因为Sno →Sdept成立，且Sno是（Sno，Cno）的真子集
4. 传递函数依赖
定义6.3  在R(U)中，如果X→Y(Y⊈X)，Y↛X，Y→Z，Z⊈Y, 则称Z对X传递函数依赖(transitive functional dependency)。记为：X → Z。
注: 如果Y→X, 即X←→Y，则Z直接依赖于X，而不是传递函数依赖。
[例] 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有：
Sno → Sdept，Sdept → Mname，
Mname传递函数依赖于Sno
找出职工工资表中的传递函数依赖
6.2.2  码
（1）定义6.4  设K为R中的属性或属性组合。若K → U，则K称为R的一个候选码(Candidate Key)。
如果U部分函数依赖于K，即K → U,则K称为超码      （Surpkey）。候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不是候选码。
（2）若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码(Primary key)。
（3）主属性与非主属性
包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性          （Prime attribute） 
不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute） 
（4）全码：整个属性组是码，称为全码（All-key） 
[例6.2]S(Sno, Sdept, Sage)，单个属性Sno是码
             SC(Sno, Cno, Grade)中，(Sno, Cno)是码
[例6.3] R(P,W,A) P：演奏者     W：作品    A：听众
        一个演奏者可以演奏多个作品
        某一作品可被多个演奏者演奏
        听众可以欣赏不同演奏者的不同作品 
        码为(P,W,A)，即All-Key 
（5）定义6.5  关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码。
SC(Sno,Cno,Grade)中，Sno不是码
Sno是 S(Sno,Sdept,Sage)的码，则Sno是SC的外码 
（6）主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段
6.2.3  范式
（1）各种范式之间存在联系：
（2）某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解（schema decomposition）可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化（normalization）。

6.2.4  2NF
（1）定义6.6  若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF
[例6.4]  S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)， Sloc为学生的住处，并且每个系的学生住在同一个地方。S-L-C的码为(Sno,Cno)。
    函数依赖有
(Sno,Cno)→Grade
Sno→Sdept, (Sno,Cno)→Sdept
Sno→Sloc, (Sno,Cno)→Sloc
Sdept→Sloc

S-L-C的码为(Sno, Cno)
S-L-C满足第一范式。
非主属性Sdept、Sloc并不完全依赖于码
关系模式S-L-C不属于2NF
（2）一个关系模式不属于2NF，会产生以下问题：
插入异常
如果插入一个新学生，但该生未选课，即该生无Cno，由于插入元组时，必须给定码值，因此插入失败。
删除异常
如果S4只选了一门课C3，现在他不再选这门课，则删除C3后，整个元组的其他信息也被删除了。
修改复杂
如果一个学生选了多门课，则Sdept，Sloc被存储了多次。如果该生转系，则需要修改所有相关的Sdept和Sloc，造成修改的复杂化
（3）出现这种问题的原因
例子中有两类非主属性：
一类如Grade，它对码完全函数依赖
另一类如Sdept、Sloc，它们对码不是完全函数依赖
（4）解决方法：
用投影分解把关系模式S-L-C分解成两个关系模式
SC(Sno,Cno,Grade)
S-L(Sno,Sdept,Sloc)

SC的码为(Sno,Cno),SL的码为Sno，这样使得非主属性对码都是完全函数依赖了

6.2.5 3NF
（1）定义6.7  设关系模式R∈1NF,若R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z ⊇ Y）, 使得X→Y，Y→Z成立，Y ↛ X不成立，则称R ∈ 3NF。
SC没有传递依赖，因此SC ∈ 3NF
例：2NF关系模式S-L(Sno, Sdept, Sloc)中
函数依赖：
          Sno→Sdept
          Sdept → Sno
          Sdept→Sloc
          可得：          
         Sno→Sloc，即S-L中存在非主属性对码的传递函数依
         赖，S-L ∈ 3NF
函数依赖图：

（2）不良特性
插入异常：如果系中没有学生，则有关系的信息就无法插入。
删除异常：如果学生全部毕业了，则在删除学生信息的同时有关系的信息也随之删除了。
更新异常：如果学生转系，不但要修改SDept，还要修改Sloc，如果换Sloc，则该系每个学生元组都要做相应修改。
数据冗余：每个学生都存储了所在系的Sloc的信息。
（3）解决方法
   采用投影分解法，把S-L分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：
            S-D（Sno， Sdept）
                D-L（Sdept，Sloc）
S-D的码为Sno， D-L的码为Sdept。
分解后的关系模式S-D与D-L中不再存在传递依赖 
（4）说明
    (1) 每个非主属性既不部分依赖，也不传递依赖于R的任何码。
    (2) 从1NF→2NF：消除非主属性对码的部分函数依赖
    (3) 从2NF→3NF：消除非主属性对码的传递函数依赖
    (4) 从一个表中删去不依赖于主码的数据列。
6.2.6  BCNF
（1）BCNF（Boyce Codd Normal Form）由Boyce和Codd提出，比3NF更进了一步。通常认为BCNF是修正的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。
（2）定义6.8  设关系模式R∈1NF，若X →Y且Y ⊆ X时X必含有码，则R∈BCNF。
（3）换言之，在关系模式R中，如果每一个决定属性集都包含候选码，则R∈BCNF。
（4）[例6.5]考察关系模式C(Cno,Cname,Pcno)
它只有一个码Cno，没有任何属性对Cno部分依赖或传递依赖，所以C∈3NF。
同时C中Cno是唯一的决定因素，所以C∈BCNF。
对于关系模式SC(Sno,Cno,Grade)可作同样分析。
（5）不良特性
插入异常：如果没有学生选修某位老师的任课，则该老师担任课程的信息就无法插入。
删除异常：删除学生选课信息，会删除掉老师的任课信息。
更新异常：如果老师所教授的课程有所改动，则所有选修该老师课程的学生元组都要做改动。
数据冗余：每位学生都存储了有关老师所教授的课程的信息。
（6）症由：
    主属性对码的不良依赖。
（7）非BCNF的关系模式也可以通过分解成为BCNF。例如STJ可分解为ST(S,T)与TJ(T,J)，它们都是BCNF。

没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖

BCNF的关系模式所具有的性质
⒈ 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码
⒉ 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码
⒊ 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性
6.2.7 多值依赖
例[6.9]设学校中某一门课程由多个教师讲授，他们
使用相同的一套参考书。每个教员可以讲授多门课
程，每种参考书可以供多门课程使用

用关系模式Teaching(C,T,B)来表示课程C、教师T和参
考书B之间的关系。

（1）定义6.9    设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x,z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。
（2）例  Teaching（C, T, B）
   对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论
B取何值。因此T多值依赖于C，即C→→T。 
（3）平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
    若X→→Y，而Z＝Ф，即Z为空，则称X→→Y为平凡的多值依赖。
    否则称X→→Y为非平凡的多值依赖
（4）找出关系上所满足的多值依赖。

A→→C
C→→A

[例6.10]关系模式WSC(W,S,C)中，W表示仓库，S 表示保管
员，C 表示商品。假设每个仓库有若干个保管员，有若干种
商品。每个保管员保管所在仓库的所有商品，每种商品被所
有保管员保管。

（5）按照语义对于W的每一个值Wi，S有一个完整的集合与之对应而不问C取何值。所以W→→S。
（6）对应W的某一个值Wi的全部S值记作{S}Wi（表示此仓库工作的全部保管员）
全部C值记作{C}Wi（表示在此仓库中存放的所有商品）
应当有{S}Wi中的每一个值和{C}Wi中的每一个C值对应
于是{S}Wi与{C}Wi之间正好形成一个完全二分图，因而W→→S。
（7）由于C与S的完全对称性，必然有W→→C成立。

（8）多值依赖的性质
（1）多值依赖具有对称性。
即若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。
从[例6.10] 容易看出，因为每个保管员保管所有商品，同时每种商品被所有保管员保管，显然若W→→S，必然有W→→C。
（2）多值依赖具有传递性。即若X→→Y，Y→→Z， 则             X→→Z -Y。
（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。即若X→Y，则           
         X→→Y。
（4）若X→→Y，X→→Z，则X→→YZ。
（5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。
（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。
（9）多值依赖与函数依赖的区别
（1）多值依赖的有效性与属性集的范围有关
若X→→Y在U上成立，则在W（XY W  U）上一定成立；反之则不然，即X→→Y在W（W   U）上成立，在U上并不一定成立。
原因：多值依赖的定义中不仅涉及属性组X和Y，而且涉及U中其余属性Z。
多值依赖的有效性与属性集的范围有关（续）
一般地，在R(U)上若有X→→Y在W(W  U)上成立，则称X→→Y为R(U)的嵌入型多值依赖。
函数依赖X→Y的有效性仅决定于X、Y这两个属性集的值
只要在R(U)的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足定义6.l，则函数依赖X→Y在任何属性集W(XY W U)上成立。
（2）若函数依赖X→Y在R (U)上成立，则对于任何Y‘  Y均有X→Y’ 成立。多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y’  Y有X→→Y’ 成立。
6.2.8  4NF
（1）定义6.10  关系模式R∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y ⊈ X），X都含有码，则R∈4NF。
（2）不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖。
（3）允许的非平凡多值依赖实际上是函数依赖。
例： Teaching(C,T,B) ∈ 4NF
     存在非平凡的多值依赖C→→T，且C不是码
     如果一门课Ci有m个教员，n本参考书，则关系中分量为Ci的元组共有m×n个，数据冗余非常大。
用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式：
                       CT(C, T) ∈ 4NF
                     CB(C, B) ∈ 4NF
     C→→T， C→→B是平凡多值依赖
在分解后的关系中分量为Ci的元组共有m + n个。