2019第十届蓝桥杯 省赛A组 RSA解密

  大二下学期选修了密码学，学了公钥密码，刚好碰到这个题，就写个博客记录一下

RSA算法介绍：
两个大素数p，q （保密的，选定的） 
n=p*q （n是公开的） 
Φ(n)=(p−1)(q−1)  （即 ，欧拉函数：小于n且与n互素的数的个数）
e满足gcd( Φ(n)，e )=1;    (1e与Φ(n)互质。 
d*e≡1(mod Φ(n))，即d和e的积模 Φ(n)余1 （ d是e模 Φ(n）的乘法逆元，扩展欧几里得算法可求 ）；
私钥为{d,n}，公钥为{e,n}

（RSA是非对称加密算法，基于大数分解，n一般而言有1024~2048比特，当然就这道题而言只是熟悉一下流程，n不会那么大，但是计算中间过程还是爆 long long ，具体代码见下方）

加密：
密文:C=M^e(mod n)  ，

明文:M=C^d(mod n)  ，

下面举个简单的例子：
p=3，q=11，e=7，明文M=5，求密文？ 
解： 
n=p*q=3*11=33 
Φ(n)=（3-1）*（11-1）=20 
7*d=1（mod 20），所以d可以为3 
私钥={3,20}，公钥={7,20} 
密文C=5^7(mod 33)=14 
（转换为明文验证：M=14^3 (mod 33)=5，正确）

题目大意：

n=p*q
p，q为素数
d与（p-1）*（q-1）互素
（d*e）%（（p-1）*（q-1））=1
c=x^d%n
x=c^e%n
 
给定d,c,n
求x

 

用素数筛求出p,q  ；再用欧几里得验证是否满足互素条件，快速幂直接乘会爆longlong，所以要用快速乘+快速幂

Python代码如下：

p=891234941
q=1123984201
n=1001733993063167141
c=20190324
d=212353
for i in range(1,500000):       #枚举因子   d*e%((p-1)*(q-1))=1    (((q-1)*(p-1))*yz+1) %d =0
    if(((p-1)*(q-1)*i+1)%d==0):
        e=((p-1)*(q-1)*i+1)//212353
        print(((p-1)*(q-1)*i+1)//d) 
        break
def quick_mod(a,b,c):
    a=a%c
    ans=1
    while b!=0:
        if b&1:
            ans=(ans*a)%c
        b>>=1
        a=(a*a)%c
    return ans
x=quick_mod(c,e,n)             #x=c^e%n   579706994112328949
print(x)
print(quick_mod(x,d,n))        #c=x^d%n

c++解法可以看我的另一篇博客：

https://blog.csdn.net/weixin_43107805/article/details/89525061