matlab最小化函数中的求解函数fminunc（线性以及非线性））

1.无约束（无条件）的最优化

fminunc函数

: - 可用于任意函数求最小值
- 统一求最小值问题
- 如求最大值问题：
>对函数取相反数而变成求最小值问题，最后把函数值取反即为函数的最大值。

• 使用格式如下
  1.必须预先把函数存入到一个程序中,（所编的程序一定是只有一个参数， 则当为多元函数时，则x(1),x(2),x(3)… 分别代表每个自变量）；
  2.fval 为函数的最小值，x0 为自变量初始向量，一般不影响结果（如有 n 个变量（即 n 元函数），则 x0 中就有 n 个元素）；
  3.exitflag 为退出标志，当它大于 0 时表示函数收敛于 x,当它等于 0 时表示迭代次数超过，当它小于 0 时表示函数不收敛(所以解完题后还必须判断 exitflag 的值是否>0，以决定结果的正误/有效性)

x=fminunc(‘程序名’, x0)
[x,fval]=fminunc()
[x,fval,exitflag]=fminunc()
函数可以用内联函数 inline(‘表达式’)

实例表述

• 例1：y= x^2+4x+5 的最小值

  %定义函数
  function f=fu(x)
  f=x^2+4*x+5; %最好不要.*	.^	./因为不是向量（一批数）的运算，初始 x0 就是变量的个数
  %函数调用（4种方式）
  [x,fval,exitflag]=fminunc(@fu,1)
  [x,fval,exitflag]=fminunc(inline('x^2+4*x+5'),2)
  [x,fval,exitflag]=fminunc(@(x)x^2+4*x+5,1)
  [x,fval,exitflag]=fminunc('x^2+4*x+5',2)
  %结果输出：
  % x =-2.0000
  % fval =1.0000
  % exitflag = 1
  

• 例2：y= 2x-x^4+1的最大值

  %函数定义
  function f=fu(x)
  f=2*x-x^4+1;
  %函数调用
  [x,fval,exitflag]=fminunc(@fu,1)
  [x,fval,exitflag]=fminunc(inline('2*x-x^4+1'),2)
  [x,fval,exitflag]=fminunc(@(x)2*x-x^4+1,1)  %初始值x0=1,不影响结果输出
  [x,fval,exitflag]=fminunc('2*x-x^4+1',2)  %初始值x0=2
   %结果输出：
   x = 597872
   fval =  -1.2777e+23
   exitflag =-3
  

  关于exitflag matlab帮助文档说明

  1
  Magnitude of gradient is smaller than the OptimalityTolerance tolerance.
  2
  Change in x was smaller than the StepTolerance tolerance.
  3
  Change in the objective function value was less than the FunctionTolerance tolerance.
  5
  Predicted decrease in the objective function was less than the FunctionTolerance tolerance.
  0
  Number of iterations exceeded MaxIterations or number of function evaluations exceeded MaxFunctionEvaluations.
  -1
  Algorithm was terminated by the output function.
  -3
  Objective function at current iteration went below ObjectiveLimit.

• 例3： $$f(x,y)=e^{2x}\left(x+y^2+2y\right)$$的最小值

  %函数定义
  function f=fu(a）  %要求参数只能是一个,可以采用矩阵形式传递
  x=a(1);y=a(2);
  f=exp(2*x)*(x+y^2+2*y);
  %函数调用
  [x,fval,exitflag]=fminunc('fu',[2,1])
  %函数结果
  x =0.5000   -1.0000
  fval = -1.3591
  exitflag =1
  

• fminbnd(‘程序名’,x1,xn) 求函数在区间[x1,xn]的最小值

2.有约束条件的最优化

fminunc函数

（条件顺序：（线性）不等式—（线性）等式—上下限—非线性条件）

• 左边可为：

  x=
  [x,fval]=
  [x,fval,exitflag]=

• 右边可为
  (1) fmincon(‘程序名’,x0,A,b)
  用于线性不等式约束， 即 Ax< =b,A 为系数矩阵，b 为常数项列向量，x0 为初始向量*
  (2) fmincon(‘程序名’,x0,A,b,Aeq,beq)
  用于线性不等式与线性等式约束，线性等式为 Aeq*x=beq, 其中 Aeq 为系数矩阵，为 beq 列向量
  (3) fmincon(‘程序名’，x0, A,b,Aeq,beq, l,u)
  其中 l、u 为解的上下限（即解的范围 l<=x<=u）
  (如为多元函数：则 l=[x0,y0,z0,….], u=[xn,yn,zn,…])
  (4)fmincon(‘程序名’，x0, A,b,Aeq,beq, l,u, ‘程序 2’)
  其中 ‘程序 2’ 是用于非线性约束，它的格式为：c(x)<=0 ceq(x)=0
  程序形式为：

  function [c,ceq]=fu(x)
   c=……;ceq=……;
  

• 注意：
  1 如果不使用，必须使用空向量[ ]
  2. 解完题后还必须判断 exitflag 的值是否>0，以决定结果的正误—所以最好返回三个结果,看一下 exitflag, 如无效则换一个初始向量 x0

  实例表述

• 例1：$$\begin{array}{rl}& \min \cdot f(x,y,z)=x^2/2+xy+xz+y^2+3yz+z^3-6x-7y-8z\\ & \text{ s. }t\cdot x+y+3z<=5\\ & \begin{array}{l}x+2y+z<=6\\ 3x+y+2z<=13\end{array}\end{array}$$

  %函数定义
  function f=fu(x) 
   a=x(1);b=x(2);c=x(3);	%也可直接用(1),x(2),x(3)
   f=a^2/2+a*b+a*c+b^2+3*b*c+c^3-6*a-7*b-8*c;
   %调用函数
  format long g
  x0=[1,1,1]  %赋初值
  A=[1 1 3;1 2 1;3 1 2]   %函数对应的A
  b=[5;6;13]   %函数对应的b
  [x,fval,exitflag]=fmincon(@fu,x0,A,b)  %方法一
  [x,fval,exitflag]=fmincon('fu',[1,1,1],[1,1,3;1,2,1;3,1,2],[5;6;13])   %方法二
  

• 例2：$$\begin{array}{rl}& \min \mathbf{z}=\mathrm{sqrt}\left((\mathbf{x}-12{)}^2+(\mathbf{y}-12{)}^2\right)\\ & \text{ s.t. }\mathbf{x}+\mathbf{y}<=20\\ & \begin{array}{c}\mathbf{y}<=14\\ 3\mathbf{y}-\mathbf{x}>=0\end{array}\end{array}$$
  注意：3y-x>=0,需要写成：-3y+x<=0

  %函数定义
  function f=fu(a) 
  x=a(1);y=a(2);
  f=sqrt((x-12)^2+(y-12)^2);
  %函数调用
  format short g
  x0=[1,1]
  A=[1 1;0 1;-3 1]
  b=[20;14;0]
  [x,fval,exitflag]=fmincon(@fu,x0,A,b)
  %结果如下：
  x = 10  10
  fval = 2.8284
  exitflag =1
  

• 例3$$\begin{array}{l}\min \mathrm{f}(x)=x^2+y^2-xy-10x-4y+60\\ \text{ s.t. }x+y=8\\ -5<x<10;0<y<5;\end{array}$$

  %函数定义
   function f=fu(a) 
   x=a(1);y=a(2);
   f=x^2+y^2-x*y-10*x-4*y+60;
  %函数调用
  format short g
  x0=[1,1];
  A=[];
  b=[];  %没有参数，函数里面也需要写上[]或者先定义一个空矩阵
  Aeq=[1 1];
  beq=8;
  I=[-5,0];
  u=[10,5];
  [x,fval,exitflag]=fmincon(@fu,x0,A,b,Aeq,beq,I,u)
  %结果如下：
  x =5  3
  fval = 17
  exitflag = 1
  

• 例4：具有非线性条件求解
  $$\begin{array}{l}\min f(x)=x2+y2-xy-10x-4y+60\\ \text{ s.t. }x+y=8\\ \begin{array}{l}{x}^{\wedge }2+y^{\wedge }2=34\\ \exp (y)<=64\end{array}\end{array}$$

  %定义函数（2个）
   function f=fu(a) 
   x=a(1);y=a(2);
   f=x^2+y^2-x*y-10*x-4*y+60;
   
   function [c,d]=fuu(a)  %c:放不等式约束条件  d:放等式的约束条件
   x=a(1);y=a(2); 
   c=exp(y)-64;
   d=x^2+y^2-34;
  
   %函数调用
   format short g
   x0=[1,1];
   A=[];
   b=[];
   Aeq=[1 1];
   beq=8;
   I=[-5,0];
   u=[10,5];
   [x,fval,exitflag]=fmincon(@fu,x0,A,b,Aeq,beq,I,u,'fuu') %条件顺序：（线性）不等式---（线性）等式---上下限---非线性条件
  
   %输出结果:
   x =5  3
   fval =17
   exitflag = 1
  

• 例5：具有多个线性条件求解

  %定义函数（2个）
  方法一(定义非线性约束条件）
   function  [c,d,c2,d1,d2]=fuu(a)  %先不等式后等式
    x=a(1);y=a(2); 
    c=exp(y)-64;
    d=sin(x)+exp(y)-70; 
    c2=-x*y+14;
    d1=x^2+y^2-34;
    d2=x+y^2-14;
   方法二(定义非线性约束条件）
   function [c,ceq]=fuu(a)
    x=a(1);y=a(2); 
    c(1)=exp(y)-64;
    c(2)=sin(x)+exp(y)-70; 
    c(3)=-x*y+14;
    ceq(1)=x^2+y^2-34;
    ceq(2)=x+y^2-14;
  
   function f=fu(a) 
   x=a(1);y=a(2);
   f=x^2+y^2-x*y-10*x-4*y+60;
   
  %函数调用
  format short g
  x0=[1,1];
  A=[];
  b=[];
  Aeq=[1 1];
  beq=8;
  I=[-5,0];
  u=[10,5];
  [x,fval,exitflag]=fmincon(@fu,x0,A,b,Aeq,beq,I,u,'fuu')
  x = 5   3
  fval =17
  exitflag =2