【杭电多校2020】第一场1005.Fibonacci Sum（数论，公式）

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思路：

根据斐波那契数列通式结合二次剩余处理求出各部分值，然后再根据杨辉三角展开多项式，最后多项式合并之后可以看做一个与k相关的等比数列，求和即可，中间用到快速幂优化和欧拉降幂并且预处理阶乘及逆元。
具体清晰思路–>请移步带佬博客

代码：

#include
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const int N=1e5+7;
const double eps=1e-8;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x7fffffff;
const double pi=3.1415926535;
int MOD=1e9+9,p=383008016,A=(p+1ll)*(MOD+1)/2%MOD,B=(1ll+MOD-p)*(MOD+1)/2%MOD;
inline int qpow(int a,int p)
{
	int ans=1;
	while (p)
	{
		if(p&1)
		{
		    ans=ans*a%MOD;
		}
		a=a*a%MOD;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}
int fac[N],finv[N],px[N],py[N];
signed main()
{
    IOS;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
	    fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	}
	finv[N]=qpow(fac[N],MOD-2);
	for (int i=N-1;i>=0;i--)
    {
        finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%MOD;
    }
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int n,c;
		int k;
		cin>>n>>c>>k;
		c%=MOD-1;
		int ans=0,x=qpow(A,c),y=qpow(B,c);
		px[0]=py[0]=1;
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
		    px[i]=px[i-1]*x%MOD;
		    py[i]=py[i-1]*y%MOD;
		}
		for(int i=0;i<=k;i++)
		{
			int t=((i&1)? MOD-1ll:1ll)*fac[k]%MOD*finv[i]%MOD*finv[k-i]%MOD;
			int a=px[k-i]*py[i]%MOD;
			if(a==1)
			{
			    ans=(ans+(n+1ll)%MOD*t)%MOD;
			}
			else
			{
			    ans=(ans+t*(qpow(a,(n+1ll)%(MOD-1))-1ll)%MOD*qpow(a-1,MOD-2))%MOD;
			}
		}
		ans=ans*qpow(p,MOD-1-k)%MOD;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}