[Codeforces894D]Ralph And His Tour in Binary Country

题意

给定有 n n n个节点的树,节点 i i i ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\frac i2\rfloor 2i有距离为 L i L_i Li的边。

m m m次询问,每次询问给出 A , H A,H A,H

​若某个节点到 A A A的距离 L L L小于 H H H,则会产生 H − L H-L HL的贡献,求树上所有点与 A A A产生的贡献之和。

n ≤ 1 0 6 , m ≤ 1 0 5 n\le10^6,m\le10^5 n106,m105


题解

这棵树是一颗完全二叉树.设 d e p u {\rm dep}_u depu表示 u u u 1 1 1的距离。

分别考虑 u u u子树内的答案和子树外的答案:

  1. 子树内的答案即
    ∑ d e p v − d e p u < H H − ( d e p v − d e p u ) = ∑ d e p v < H + d e p u ( H + d e p u ) − d e p v = s ( H + d e p u ) − ∑ d e p v < H + d e p u d e p v \sum_{{\rm dep}_v-{\rm dep}_udepvdepu<HH(depvdepu)=depv<H+depu(H+depu)depv=s(H+depu)depv<H+depudepv
    其中 s = ∑ [ d e p v < H + d e p u ] s=\sum[{\rm dep}_vs=[depv<H+depu].
    u u u子树内所有的 d e p v {\rm dep}_v depv放到的一个数组 a u a_u au中,对 a u a_u au排序后求其前缀和数组 S u m u {\rm Sum}_u Sumu
    那么这部分答案就可以通过对 a u a_u au数组二分得到 s s s算出来,即 s ( H + d e p u ) − S u m u [ s ] s(H+{\rm dep}_u)-{\rm Sum}_u[s] s(H+depu)Sumu[s]
  2. 父亲 f a u fa_u fau及其兄弟节点 w w w.父亲的答案即 H − L u H-L_u HLu.兄弟节点 w w w的子树内的节点的答案即
    ∑ d e p v − d e p w + L u + L w < H H − ( d e p v − d e p w + L u + L w ) = s ′ ( H + d e p w − L u − L w ) − ∑ d e p v < H + d e p w − L u − L w d e p v \sum_{{\rm dep}_v-{\rm dep}_w+L_u+L_wdepvdepw+Lu+Lw<HH(depvdepw+Lu+Lw)=s(H+depwLuLw)depv<H+depwLuLwdepv
    可以发现上式和 1. 1. 1.中的式子形式相同,故可以统一处理.
  3. 父亲的父亲及父亲的兄弟节点…

由于这是棵完全二叉树,故暴力跳父亲算答案最多跳 log ⁡ n \log n logn次,算上二分的 log ⁡ n \log n logn,单次询问复杂度为 log ⁡ 2 n \log^2n log2n.
a u a_u au可以自底向上通过归并求出,且根据完全二叉树的特性,可以采用非递归的形式求解降低常数。

时间复杂度 O ( n log ⁡ n + m log ⁡ 2 n ) O(n\log n+m\log^2n) O(nlogn+mlog2n)

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
typedef long long ll;
int n, m, dep[N], Len[N];
vector<int> a[N];
vector<ll> Sum[N];
inline ll Calc(int u, int H) {
    if (H <= 0 || !a[u].size())
        return 0;
    int s = lower_bound(a[u].begin(), a[u].end(), H) - a[u].begin();
    return s ? (ll)s * H - Sum[u][s - 1] : 0;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        scanf("%d", Len + i);
    for (int u = 1; u <= n / 2; ++u) {
        int L = u << 1, R = L | 1;
        if (L <= n)
            dep[L] = dep[u] + Len[L];
        if (R <= n)
            dep[R] = dep[u] + Len[R];
    }
    for (int u = n; u; --u) {
        int L = u << 1, R = L | 1;
        a[u].emplace_back(dep[u]);
        if (R <= n)
            merge(a[L].begin(), a[L].end(), a[R].begin(), a[R].end(),
                  back_inserter(a[u]));
        else if (L <= n)
            a[u].insert(a[u].end(), a[L].begin(), a[L].end());
        Sum[u].resize(a[u].size());
        Sum[u][0] = a[u][0];
        for (int i = 1; i < (int)Sum[u].size(); ++i)
            Sum[u][i] = Sum[u][i - 1] + a[u][i];
    }
    for (int u, H; m--;) {
        scanf("%d%d", &u, &H);
        ll Ans = Calc(u, H + dep[u]);
        for (H -= Len[u]; H > 0 && u != 1; H -= Len[u >>= 1])
            Ans += H + Calc(u ^ 1, H - Len[u ^ 1] + dep[u ^ 1]);
        printf("%lld\n", Ans);
    }
    return 0;
}

你可能感兴趣的:(暴力)