【NOIP模拟赛】Energy 能量采集

Energy 能量采集

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• Description

在一个宽阔的平原上，Samha建立了一个巨大的能量收集阵。在平原上建立一个坐标系，收集点分布在n行m列，坐标从(1,1)到(n,m)，一共n * m个。在(0,0)上有整个收集阵的能量核心，每一个收集点都能为能量核心提供2k+1单位的能量，k是收集点和能量核心连线上收集点的个数（不包含自身）。例如点(2,4)和(0,0)的连线上有一个点(1,2)，那么它提供的能量是3。点(3,5)提供的能量是1。 现在你要求出，所有n*m个收集点一共能提供多少单位的能量。

• Input Format

一行，两个数n,m。

• Output Format

一行，能量总数。

• Sample Input

5 4

• Sample Output

36

• Hint

【样例解释】
用*表示核心的位置，各个位置上的数字为该点提供的能量。左上为(0,0)。

*
  1 1 1 1 1
  1 3 1 3 1
  1 1 5 1 1
  1 3 1 7 1

【数据范围】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

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• 分析

以下来自出题人题解：
点(x,y)提供的能量值为gcd(x,y)*2-1
用F[i]表示有多少对(x,y)满足gcd(x,y)=i，那么答案就是sigma((i*2-1)*F[i])。
现在从大往小求F[i]。
满足i|x,i|y的(x,y)对数是trunc(x/i)*trunc(y/i)，其中有f[2i]+f[3i]+f[4i]+f[5i]+…不满足要求，删掉后就是F[i]的值
总复杂度是O(n/1+n/2+n/3+..+n/n)=O(n*log*n)

至于为什么是gcd(x,y)，假设p=gcd(x,y)，a=x/p，b=y/p，那么(a,b)，(2a,2b)……(pa,pb)都是整数点，所以共有gcd(x,y)个。

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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
long long Ans,n,m,F[100001];
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main(){
    freopen("2.in","r",stdin);
    freopen("2.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (int i=min(n,m);i;i--){
        F[i]=(n/i)*(m/i);
        for (int j=i+i;j<=min(n,m);j+=i) F[i]-=F[j];
        Ans+=F[i]*i;
    }
    printf("%lld",Ans*2-n*m);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}