特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）

特征值和特征向量是矩阵的本质内容，在动态问题中发挥很重要的作用，本文讲得矩阵默认为方阵（square）。

1.几何意义

现在我们从几何的角度解释说明是特征值什么是特征向量。大多数的向量（x）乘上矩阵A时，即Ax，(下文中提到向量x乘上A就值Ax)都会改变向量的方向，但存在某些列外的矩阵x，它的方向和Ax的方向相同，这些向量就被称为特征向量。向量Ax为标量乘上原始向量x。

特征值的大小表明当特征向量x乘上A时拉伸、收缩、反转或者没有改变（e.g. 相应的的值为2，-1/2，-1，1）。当然特征值也可以为0。表明特征向量在矩阵的零空间。如果A为单位矩阵，所有的向量满足，所有的向量都是的特征向量，所有的特征值为1.

2.特征值特征向量的求解

特征值通过方程 求解，求出特征值后，相应的特征值就是 的零空间。下面的例子是求解的过程：

下面介绍一个特征值的简单用途，我们可以发现，如果A乘上x1，我们得到x1，类推得到 ，同样的A^n*x2 = (1/2)^n * x2，从中我们可以得到 的特征向量同样为x1，x2，而特征值发生了变化，分别为1和 。

因为不同特征值的特征向量线性无关，所有x1和x2可以作为二维向量的一组基向量，所有的二维向量都可以表示成x1和x2的线程组合。我们可以吧矩阵A的第一个列向量分解成：

当乘上矩阵A时，得到：

得到结果（.7, .3）为A^2的第一个列向量。

当然我们需要求解矩阵 ，可以用同样的方法，下面是通过求解得到 的第一个列向量：

根据上诉的方法，当我们需要求解一个矩阵A的高次幂是，我不需要先求A^2,A^3.........，这样的效率非常低，我们可以直接通过特征值和特征向量来求解。

上面提到的x1不会改变，我们称为“steady state”，因为他的特征值为1，x2会慢慢消失，我们成为“decaying mode”，因为其特征值小于1。根据这个性质，矩阵高次幂的每一列都会趋向于稳态。下面我们就引入马尔科夫矩阵，它的所有元素都为正值，每一列的和为1，另外它的最大特征值为1。上面的矩阵A就是马尔科夫矩阵。

3.几个性质

1.如果矩阵A的每一列的和都为1，则1是A的一个特征值。

2.如果矩阵A为奇异的，det（A）= 0，则0是A的一个特征值。

3.如果A为对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交。

4.所有特征值的乘积为矩阵的行列式。

5.所有特征值的和为矩阵的迹，即矩阵主对角线上的元素和。

4.总结

本文简单介绍了特征值和特征向量，上面的例子都是比较理想（一个矩阵有n个线性无关的特征值）。需要注意的，有些n*n矩阵没有n的相互独立特征向量，这样就不可能作为n维空间的一个基，同样的不能表示所有的n维向量。（这样的矩阵也不可能对角化）

5.Reference

《A Introduction to Linear Algebra》   GILBERT STRANG