ZJOI2020（未完）

ZJOI

D1T2

对于每个节点我们算出它最后有 tag 的概率，这只需抽象成三个状态之间的转移：自己到祖先都没有 tag，自己有 tag，自己没有但祖先有。这几个转移的概率比较容易通过几种不同的区间来统计。
时间复杂度 $\Theta (n\log k)$。

代码

D1T3

考虑只有连续段操作的话，答案就是 ${\sum }_i\max (a_i-a_{i-1},0)$，因此我们考虑把数分成 $x_i,a_i-x_i$ 两拨，记

$$\begin{array}{rl}{y}_i& =\max (x_i-x_{i-1},0)\\ z_i& =\max (a_i-a_{i-2}-x_i+x_{i-2},0)\end{array}$$

只需最小化 $\sum y_i+\sum z_i$，考虑改写为线性规划：

$$\begin{array}{rlr}{x}_i,y_i,z_i& \ge 0& \\ -x_i& \ge -a_i& (u_i)\\ -x_i+x_{i-1}+y_i& \ge 0& (v_i)\\ x_i-x_{i-2}+z_i& \ge a_i-a_{i-2}& (w_i)\end{array}$$

等价于对偶线性规划

$$\begin{array}{rlr}{u}_i,v_i,w_i& \ge 0& \\ -u_i-v_i+v_{i+1}+w_i-w_{i+2}& \le 0& (x_i)\\ v_i& \le 1& (y_i)\\ w_i& \le 1& (z_i)\end{array}$$

最大化 ${\sum }_i(-a_i)u_i+{\sum }_i(a_i-a_{i-1})w_i$。

因此我们只需取 $u_i=\max (-v_i+v_{i+1}+w_i-w_{i+2},0)$，对最近的一个 $v$，两个 $w$ 值做 DP 就可以了。复杂度 $\Theta (n)$。

代码

D2T2

容易想到对于任何一个不存在长为 $k$ 的连续段的，已经获得了 $r$ 张牌的方案，它都有 $\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)}$ 的概率被经过，并且期望停留 $\frac{m}{m-r}$ 的时间。对于一整段卡池长为 $l$，那么我们考虑末尾补一张牌必然没抽中，不存在长为 $k$ 的段，其中计量没抽中的张数就可以用 $[z^{l+1}]\frac{1}{1-uz\frac{1-z^k}{1-z}}$ 表示，这一形式只需考虑求出 $z\frac{1-z^k}{1-z}$ 的复合逆，后拉格朗日反演即可。我们通过 $F\frac{1-F^k}{1-F}$ 的快速复合计算，就可以牛顿迭代。
最后需要把一些多项式乘起来，因此总共的复杂度瓶颈是 $\Theta (m{\log }^{2}m)$。（恐怕 $m{\log }^{2}m$ 的部分比 $m\log m$ 的部分快多了）
代码