4.A=LU的矩阵分解(消元法的另一种求解方式)

一.了解A=LU

        其实简单的说A=LU是高斯消元法的另一种求解形式。

从上一节中,我们知道高斯消元法的形式主要是EA=U。其中E我们称其为消元矩阵。通过EA=U\Rightarrow E^{-1}EA=E^{-1}U\Rightarrow A=LU进行变换,其中L=E^{-1}。通过上边的变换,我们可以得到A=LU。在这里L就是英文单词lower,代表着下三角;U的英文单词就是upper代表着上三角。

举个例子:2X2的例子

                                                                            \begin{bmatrix} 1 &0 \\ -4& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8& 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 0& 3 \end{bmatrix}

                                                                                 E     x    A       =      U

通过变换得到:

                                                                            \begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8&7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 4&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 0&3 \end{bmatrix}

                                                                              A        =    L       x       U

我们还可以通过进一步的分解U,来进行LDU分解,把主元提出来:

                                                                           \begin{bmatrix} 2 &1 \\ 8&7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 4&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &1/2 \\ 0&1 \end{bmatrix}

                                                                             A        =    L        x    D    x     U

其中D是英文单词(diagonal)。表示对角矩阵的意思。通过LDU的分解产生的作用是很多的,接下来的博客会介绍。

二. 为什么要进行LU分解消元法

       1.方便计算

           举个3x3矩阵的例子。

                      对于一个矩阵A,假如需要通过三次消元才能得到U,这三次消元分别是E_{32} E_{21} E_{31}。所以E_{21}E_{31}E_{32}A=U

                           例如:  E_{32}=\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&-5 &1 \end{bmatrix} E_{21}=\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ -2& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix} E_{31}=I    则    E=E_{32}E_{21}E_{31}=\begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ -2& 1 &0 \\ 10&-5 &1 \end{bmatrix}

 

                          转换成A=LU的形式:L=E_{31}^{-1}E_{21}^{-1}E_{32}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 2& 1& 0\\ 0& 5 &1 \end{bmatrix}.

             通过上边我们发现通过普通消元法得到的初等矩阵在第三行有个数10,这是因为把第一行的-2倍加到了第二行,新的第二行的-5倍加到了第三行,所以第三行的10倍第一行加到第三行。这个10的出现大大降低了我们消元矩阵的可读性,特别是对于大型矩阵来说,也加大了他的存储和处理。而我们观察L,他首先是个下三角形的对角矩阵,对角全是1,同时他的其他元素刚好是我们要对各行处理的倍数,这样不仅方便我们读取各行的乘数,同时也减少了存储的空间。

但是LU分解是在一定条件下的:

         1.主元要非零(不能出现行变换);

         2.矩阵是方阵(LU分解主要是针对方阵);

        3.矩阵是可逆的,也就是该矩阵是满秩矩阵,每一行都是独立向量;

2.计算步骤要少(时间要短)

   相比于高斯消元法来说,LU分解的步骤要比较少。

对于一个nxn的矩阵,高斯消元法一般要经过大概\frac{1}{3}n^{3}次,具体计算可以通过实际例子和微积分来算,如有需要,可在下方评论区留言后,进行推导。

而对于LU分解来说,只需要进行n^{2}次比较。

三、引申知识:置换矩阵

在数学上,特别是在矩阵理论中,置换矩阵是一个方形的二进制矩阵,它在每行每列中只有一个1,而在其他地方则为0。

1. 它可以进行行置换,

2. P^{-1}=P^{T}  他的逆等于他的转置。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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