矩阵特征值、特征向量、奇异值

1. 特征值与奇异值的主要区别

两者的主要区别在于：奇异值分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵。自相关矩阵正定时， 特征值分解是奇异值分解的特例，且实现时相对简单些。

2. 定义

一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。

本征值和本征向量为量子力学术语，对矩阵来讲与特征值和特征向量定义一样。但本征值不仅限于矩阵，对微分算子也有意义。

一微分算子A作用与一函数ψ，结果只相当与该函数乘以一常数λ。即Aψ=λψ，则ψ为该微分算子A的本征函数，λ为该微分算子A的本征值。

奇异值：对于一个实矩阵A（m×n阶），如果可以分解为A＝UDV’，其中U和V为分别为m×n与n×m阶正交阵，D为n×n阶对角阵，且D＝diag（a1,a2,...,ar,0,..., 0）。且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0。那么a1,a2,...,ar称为矩阵A的奇异值。U和V成为左右奇异阵列。
   A的奇异值为A’A的特征值的平方根（A’表示A的转置矩阵），通过此可以求出奇异值。