层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）

最近参加的两个建模比赛中都用到了AHP（层次分析法，运筹学方法），下面对其详细介绍。

1. 基本原理

层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

2. 基本思路

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
1）建立递阶层次结构模型；
2）构造出各层次中的所有判断矩阵；
3）层次单排序及一致性检验；
4）层次总排序及一致性检验。

实例

建模1： 2004、2007、2010、2013和2016五个年份，根据先决条件“年份越近，重要性越大”，对五个年份设置合适的权重。
建模2：

2.1 建立层次结构模型

• [未完]层次机构图

2.2 构造判断矩阵

通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法）：
$$表11\sim 9标度法$$

重要性标度	含义
1	表示两个元素相比，具有同等重要性
3	表示两个元素相比，前者比后者稍重要
5	表示两个元素相比，前者比后者明显重要
7	表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
9	表示两个元素相比，前者比后者极端重要
2, 4，6，8	表示上述判断的中间值
倒数	若元素 $i$与元素$j$的重要性之比为$a_{ij}$ ，则元素$j$元素$i$的重要性之比为 $a_{ii}=1/a_{ii}$

对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入，并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）

1）根据表1，得到各年份的重要程度两两比较的结果如表2所示.
$$表2相互重要程度比较表$$

	2004	2007	2010	2013	2016
2004	1	1/2	1/3	1/4	1/5
2007	2	1	1/2	1/3	1/4
2010	3	2	1	1/2	1/3
2013	4	3	2	1	1/2
2016	5	4	3	2	1

2）根据表2得到判断比较矩阵 $A$.
$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1/2& 1/3& 1/4& 1/5\\ 2& 1& 1/2& 1/3& 1/4\\ 3& 2& 1& 1/2& 1/3\\ 4& 3& 2& 1& 1/2\\ 5& 4& 3& 2& 1\end{array}\right]$

3）利用规范列平均法求权重，首先对列向量归一化得到对应矩阵 $B$，再对其算数平均，得到特征向量 $w$.
$B=\left[\begin{array}{ccccc}0.06666667& 0.04761905& 0.04878049& 0.06122449& 0.08759124\\ 0.13333333& 0.0952381& 0.07317073& 0.08163265& 0.10948905\\ 0.2& 0.19047619& 0.14634146& 0.12244898& 0.1459854\\ 0.26666667& 0.28571429& 0.29268293& 0.24489796& 0.2189781\\ 0.3333333& 0.38095238& 0.43902439& 0.48979592& 0.4379562\end{array}\right]$

$w=[0.062376390.098572770.161050410.261787990.41621245{]}^T$

2.3 判断矩阵的一致性检验

对构造的判断矩阵进行一致性检验，用来确定权重分配是否合理。计算一致性比例$CR$（其中平均随机一致性指标$IR$值，如表3所示）并根据公式（1）和（2）对求得的权重进行判断。
$$CR=\frac{CI}{RI}(1)$$
$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}(2)$$

其中，$CI$为一致性指标； $\lambda$为矩$A$ 的最大特征根； $n$为判断矩阵阶数。
$$表3平均随机一致性指标RI表（1000次正互反矩阵计算结果）$$

矩阵阶数	1	2	3	4	5	6	7	8
$RI$	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41

矩阵阶数	9	10	11	12	13	14	15
$RI$	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

当$CR<0.1$时，认为判断矩阵的一致性在可接受范围内， $CR>0.1$时，则判断矩阵不符合一致性要求，对该判断矩阵进行重新修正。
已知：
$$\lambda =5.0681$$
计算可得$CI=0.017025$，$CR=0.0152$ ，一致性比例小于0.1，故权重值比较合理。

3.权重赋值

根据前文计算判断一致性比例 ，则判断求得权重是合理的， $Y{W}_t$值如表4所示。
$$表4YW值$$

年份	2004	2007	2010	2013	2016
$Y{W}_t$ 值	0.062376	0.098573	0.161050	0.261788	0.416212