[ZJOI2014]力 题解

题目描述
给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

Fj=∑i<jqiqj(i−j)2−∑i>jqiqj(i−j)2

令Ei=Fi/qi，求Ei.
输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。
输出格式：
n行，第i行输出Ei。
与标准答案误差不超过1e-2即可。
说明
对于30%的数据，n≤1000。
对于50%的数据，n≤60000。
对于100%的数据，n≤100000，0 < qi < 1000000000。

对式子变形，再利用多项式卷积。FFT。

Ei=∑j<iqj(i−j)2−∑j>iqj(i−j)2=∑j=1i−1qj(i−j)2−∑j=i+1nqj(i−j)2

令

gi={1i2(i≠0)0(i=0)

有

Ei=∑j=1i−1qj⋅gi−j−∑j=i+1nqj⋅aj−i

不难发现， ∑i−1j=1qj⋅gi−j 卷积一下就好了，接下来讨论右边的。
为了表示方便，令

Ei=φi−ωt

其中 φ=Q×A
接下来求 ω 。

ωt=∑i<j≤nqj⋅gj−i=∑i<j+i≤nqj+i⋅gj=∑0<j≤n−iqj+i⋅gj=∑0<n−i−j≤n−iqn−j⋅gn−i−j=∑0≤j≤n−iqn−j⋅gn−i−j=∑0≤j≤tqn−j⋅gt−j(t=n−i)=∑0≤j≤tpj⋅gt−j(pi=qn−i)=P×G

然后把 φ 和 ω 给求出来就OK了。

#include 
using namespace std ;
const int maxn = 400005 ;
const double PI = acos(-1.0) ;
int n, m, dep, rev[maxn], len ;
double q[maxn], g[maxn], p[maxn], ans[maxn] ;
complex <double> a[maxn], b[maxn] ;
void DFT ( complex <double> a[], int len, int t ) {
    int i, j, k ;
    for ( i = 1 ; i < len ; i ++ ) if ( ifor ( j = 1 ; j < len ; j <<= 1 ) {
        complex <double> dw( cos(2*PI/(j<<1)), sin(2*t*PI/(j<<1)) ) ;
        for ( i = 0 ; i < len ; i += (j<<1) ) {
            complex <double> w(1,0), t0, t1 ;
            for ( k = 0 ; k < j ; k ++, w *= dw ) {
                t0 = a[i+k] ;
                t1 = w*a[i+k+j] ;
                a[i+k] = t0+t1 ;
                a[i+j+k] = t0-t1 ;
            }
        }
    }
    for ( i = 0 ; i <= len && t == -1 ; i ++ ) a[i] /= len ;
}
void FFT ( double x[], double y[], complex<double> a[], complex<double> b[], complex <double> c[], int len ) {
    int i ;
    for ( i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i] = x[i] ;
    for ( i = 0 ; i < len ; i ++ ) b[i] = y[i] ;
    DFT ( a, len, 1 ) ; DFT ( b, len, 1 ) ;
    for ( i = 0 ; i < len ; i ++ ) c[i] = a[i]*b[i] ;
    DFT ( c, len, -1 ) ;
}
void init() {
    int i, j, k = 0 ;
    len = n<<1|1 ;
    for ( k = 1 ; k <= len ; k <<= 1 ) ++ dep ;
    len = k ;
    for ( i = 1 ; i < len ; i ++ ) rev[i] = (rev[i>>1]>>1)|((i&1)<1) ;
}
int main() {
    int i, j, k ;
    scanf ( "%d", &n ) ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf ( "%lf", q+i ) ;
    for ( p[0] = q[n], i = 1 ; i <= n ; i ++ ) g[i] = 1.0/(i*i), p[i] = q[n-i] ;
    init() ;
    FFT ( q, g, a, b, a, len ) ;
    for ( i = 0 ; i <= n ; i ++ ) ans[i] = a[i].real() ;
    FFT ( p, g, a, b, a, len ) ;
    for ( i = 0 ; i <= n ; i ++ ) ans[i] -= a[n-i].real() ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) printf ( "%.3lf\n", ans[i] ) ;
    return 0 ;
}