高级数据结构 - 线段树（2）

【回顾】

上一次我们讲了一些线段树的基础，地址是http://t.cn/RbQ9gVH，主要涉及的有对区间和单个点的修改、查询。这一篇则相对偏向效率与正确性的证明。

【线段树的高度】

首先我们假设线段树有n个节点，那么我们断言这棵线段树的高度不会超过 。考虑将n替换成2的整幂次方，使得 ，而k最小。这很容易实现，一个简单的while循环之类就可以轻易搞定了。然后，以这个2的整幂次方为节点数建一棵线段树，显然这棵新的线段树必定不会比原来的更浅，如果比原来的更浅，那就干脆将剩余的那些节点用特殊值补掉，反正也可以通过处理令其不会影响结果。那么这颗线段树的高度，其实和二分查找的类似。想想看，点状匹配第p个元素，实际上就是在一个序列1,2,3,4,5……n中二分查找一个元素p，只不过我们将区间化作一个个的节点，这样更加强大。

那么，我们继续考虑，如果我们点状匹配一个元素，那么最后到达的必定是叶节点。让我们继续考虑，如果现在访问到了某一个节点d，那么下一步因为是点状匹配，所以说只会到某一个子节点去，而这个子节点所管理的空间比d少一半，所以我们可以很轻易地得出结论：任意一颗高度为2的正幂次方的线段树的高度不超过 。再有我们上面的另一个结论，就算n不是2的整幂次方，那么这棵线段树仍然高度不会超过 。

【各种操作的效率】
下面我们来考虑各个上一篇文章里所讲述了的操作：点状查询、点状修改、区间查询、区间修改。在这个开头，我们先归约一下。
实际上来说，点状的查询和修改都在本质上属于区间的修改和查询的子集，因此这两个操作完全可以忽略。不过，这会不会对效率有影响呢？我们下面就先简单地分析一下：点状的查询和修改，因为只是查询或修改某一个元素，那么这个元素肯定处在叶节点上，由程序我们可以知道，其的时间复杂度刚好就是线段树的高度！所以说，这是一个和二分查找的时间复杂度非常类似的复杂度。查询和修改在本质上都很相似，因此都是 级别的时间复杂度。

下面继续来分析一下区间级别的操作。

修改和查询类似，只不过查询时将相应的节点进行一定的答案合并操作（如求最值、求和）接着返回，而修改是将标记打上去。这么说，我们就只讨论查询了。

查询过程中，我们都知道，在极限的情况下，查询过程可能会到达叶节点，那么我们的问题来了：在线段树的某一层中，最多可能有多少个节点被线段树包含？如果我们能求出来，就将这个节点数的函数和树的高度相乘，就可以得出极限情况下的时间复杂度了。很容易看出，答案是最多4个，如下所示：

  这是很自然的。但是，现实一定是这样的吗？一定会只有这么多个吗？会不会出现更多？下面就予以说明。我们假想一下，如果在下面的一层中出现了除这4个之外的一个节点，它也被选中了，那么这个节点应该在哪里？我们将上层的两个节点标为1、2，下层的四个节点标为3、4、5、6，那么，这个节点不可能在3左边或6的右边。因为查询是连续的，我们看到3和6中都没有完全选完，这意味着，区间的开始和结尾，都分别在3和6号节点所表示的范围内，而如果在3的左边或6的右边，这就意味着这个区间中间有一段没有被选到！这和算法的逻辑相悖。

接着，这个节点有可能是节点4和5间的一个点吗？仍然不可能。因为如果这个节点在4和5之间，那么其的某个祖先一定被选了。这样的话，既然选了一个祖先，那么以这个祖先为根的子树都相当于被选了（在节点上有附加的信息！），那么我们还要这个节点干什么？
综上所述，一层最多四个节点（被选），这是一个常数，所以各种操作的效率都是 。相当低。
【正确性证明】
  正确性的证明可以说是显而易见了。由程序的逻辑，我们很容易推出来，这里就忽略了。