常见分布及其概率分布图

概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function）。离散概率分布包括：

• 伯努利分布（Bernoulli distribution）
• 二项分布（binomial distribution）
• 几何分布（geometric distribution）
• 泊松分布（Poisson distribution）等。

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。连续概率分布包括：

• 正态分布（normal distribution）
• 指数分布（exponential distribution）
• β分布（beta distribution）等。

1. 两点分布（伯努利分布）

伯努利试验：

伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

即只先进行一次伯努利试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。

最常见的例子为抛硬币

其中，期望$E=p$ ，方差$D=p(1-p{)}^2+(1-p)(0-p{)}^2=p(1-p)$

2. 二项分布（n重伯努利分布）

用数学符号 X~B(n,p) 来表示二项分布。即做n个两点分布的实验，其中，$E=np$，$D=np(1-p)$。而它的概率分布函数为:$P(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。

对于抛硬币的问题，做100次实验，正反面概率都为0.5，观察其概率分布函数：

from scipy.stats import binom
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Binomial distribution
n = 100
p = 0.5
k = np.arange(20,80)
binomial = binom.pmf(k,n,p)
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('binomial:n=%i,p=%.2f'%(n,p))
plt.xlabel('number of success') #正面向上的次数
plt.ylabel('probalility of success')
plt.grid(True)
plt.show()

结果显示如下：

观察概率分布图，可以看到，对于n = 100次实验中，有50次成功的概率（正面向上）的概率最大。

3. 几何分布

用数学符号 X~GE(p) 来表示几何分布。即在n次伯努利实验中，第k次实验才得到第一次成功的概率分布。其中：$P(k)=(1-p{)}^{(k-1)}p$。期望值$E=1/p$ 推导方法就是利用利用错位相减法然后求lim - k ->无穷 。方差$D=(1-p)/p^2$ 推导方法利用了$D(x)=E(x{)}^2-E(x^2)$，其中$E(x^2)$求解同上。

对于抛硬币的问题，正反面概率都为0.5，观察第k次实验才得到第一次成功的概率分布函数：

from scipy.stats import geom

# 几何分布（geometric distribution）
n = 10
p = 0.5
k = np.arange(1,10)
geom_dis = geom.pmf(k,p)
plt.plot(k, geom_dis, 'o-')
plt.title('geometric distribution')
plt.xlabel('i-st item success')
plt.ylabel('probalility of i-st item success')
plt.grid(True)
plt.show()

显示结果如下：

4. 泊松分布

用数学符号X~P(λ) 表示泊松分布。描述单位时间/面积内，随机事件发生的次数。$P(x=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{(-\lambda )},k=0,1,2,...\lambda >0$。泊松分布可作为二项分布的极限而得到。

一般的说，若X~B(n,p)，其中n很大，p很小，因而 np=λ 不太大时，X的分布接近于泊松分布 P(λ)。λ：单位时间/面积下，随机事件的平均发生率。期望值E = λ，方差D = λ。譬如：某一服务设施一定时间内到达的人数、一个月内机器损坏的次数等。

假设某地区，一年中发生枪击案的平均次数为2。考察一下不同次数的概率分布：

from scipy.stats import poisson

# 泊松分布（poisson distribution)
mu = 2
x = np.arange(10)
plt.plot(x, poisson.pmf(x, mu),'o')
plt.title(u'poisson distribution')
plt.xlabel('shot case count')
plt.ylabel('probalility of shot case count')
plt.grid(True)
plt.show()

结果显示如下：

一年内的枪击案发生次数的分布如上所示。可以看到1次和2次的枪击案发生概率最高。

与二项分布对比：

# 二项分布和泊松分布对比
fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
n = 1000
p = 0.1
x = np.arange(80,120)
p1, = ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p),'b*',label = 'binom')
 
mu = n*p
p2, = ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu),'ro',label = 'poisson')
 
plt.legend(handles = [p1, p2])
plt.title(u'possion and binomial')
plt.show()

可以看到这里当n=1000，p=0.1时， λ=100，泊松分布和二项分布已经很接近了。

5. 指数分布

用数学符号 X~E(λ) 表示指数分布。

指数分布的特性：无记忆性。比如灯泡的使用寿命服从指数分布，无论他已经使用多长一段时间，假设为s，只要还没有损坏，它能再使用一段时间t 的概率与一件新产品使用时间t 的概率一样。

这个证明过程简单表示：$P(s+t|s)=P(s+t,s)/P(s)=F（s+t）/F（s）=P(t)$

它的概率密度函数为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0,\lambda >0\\ 0& x\le 0\end{array}$$

期望值$E=1/\lambda$，方差$D=1/{\lambda }^2$。

from scipy.stats import expon
# 指数分布
fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
lambdaUse = 2
loc = 0
scale = 1.0/lambdaUse
 
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X
x = np.linspace(expon.ppf(0.01,loc,scale),expon.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, expon.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'expon')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title(u'expon distribution')
plt.show()

显示结果如下：

6. 正态分布（高斯分布）

用数学符号 X~N(μ，σ^2) 表示正态分布。期望值$E=\mu$，方差$D={\sigma }^2$。

正态分布是比较常见的，譬如学生考试成绩的人数分布、身高分布等。

它的概率密度函数是：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

from scipy.stats import norm
# 正态分布（normal distribution）
fig,ax = plt.subplots(1,1)
 
loc = 1
scale = 2.0

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X
x = np.linspace(norm.ppf(0.01,loc,scale),norm.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, norm.pdf(x,loc,scale),'-',label = 'norm')
 
plt.title(u'normal distribution')
plt.show()

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附：
code

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参考：

1. 概率论中常见分布总结以及python的scipy库使用：两点分布、二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布

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THE END.