模拟信号的数字化处理

一、概述

    对于一般的模拟信号，其时域与频域波形均为连续无限长，而若要对信号进行数字处理，必须先将模拟信号进行数字化，即变成计算机可以处理的有限长离散的序列。

    数字化处理分两步，第一步是时域离散化，即时域采样（CTFT->DTFT），第二步是频域离散化，即频域采样（DTFT->DFT）。

二、模拟信号的数字化处理

注：以下讨论均价假设原信号为带限信号，截止频率为Ωm。

1.时域离散化（时域采样）

对连续信号ga(t)进行冲击采样，采样频率为Ωs（采样周期为T），即Ωs≥2Ωm，满足Nyquist采样定理。根据模拟信号时域采样一文可以知道，若设采样信号为gp(t)，其频域响应为Gp(jΩ)，那么可得:

由此可得，取样后的频谱变为周期函数，周期为T，而且幅度变为原来的1/T。

根据离散时间傅里叶变换一文，Gs(jΩ)还可以写作：

将其写作DTFT（G(ejω））形式得到：

其周期为2π。

根据CTFT与DTFT的关系，我们可以得出结论，对信号ga(t)进行时域离散化（即DTFT），其幅度变为原来的1/T（T为采样周期，满足Nyquist采样定理），一般的，Ω（CTFT频率）与ω（DTFT频率）的对应关系为：

2.频域离散化（频域采样）

由离散傅里叶变换一文可知，频域离散化（DFT）即将CTFT在区间0≤ω≤2π等间隔采样N个点得到的，即间隔为2π/N，即DFT为：

那么DTFT到DFT的频率映射关系为：

3.信号的时域频域离散化，CTFT->DFT

若设采样频率为Ωs，对应采样周期为T，根据前两节CTFT与DTFT、DTFT与DFT的频率映射关系和幅度变化，我们可以得到：信号经过离散化，连续频率ω与离散频率k的映射关系为：

幅度变为原来的1/T，即fs倍。

具体转换如下图例：