拉格朗日插值法

拉格朗日插值法

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• 设 $A(x)$ 为 $k$ 次多项式，把 $k+1$ 个不同的点值对 $(x_i,y_i)$ 代入可以唯一地确定这个多项式
• 一个 k 次多项式，可以由 $k+1$ 个 $k$ 次多项式相加得到。
• 拉格朗日插值公式为：

$$L(x)=\sum _{i=0}^k{y}_i\prod _{j=0,i\ne j}^k\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

• 其中插值基函数 $l_i(x)$ 为：

$$l_i(x)=\prod _{j=0,i\ne j}^k\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

其中 $l_i(x_i)=1$，其余的 $x_0$ 到 $x_k$ 带入皆为0。这样才能使得 $L(x_i)=y_i$ 成立

通常情况下，我们可以对 $x_i$ 取连续的值。那么就可以改造一下，取 $x_1=1,x_2=2,\dots ,x_{k+1}=k+1$，这 $k+1$ 项来进行插值，可以得到

$$\begin{gathered} L(x)=\sum _{i=1}^{k+1}{y}_i\prod _{j=1,i\ne j}^{k+1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \\ =\sum _{i=1}^{k+1}{y}_i\prod _{j=1,i\ne j}^{k+1}\frac{x-j}{i-j} \\ =\sum _{i=1}^{k+1}{y}_i\frac{(x-1)(x-2)\dots (x-(j-1))(x-(j+1))\dots (x-(k+1))}{(i-1)!(k+1-i)!(-1{)}^{k+1-i}} \end{gathered}$$

对这个式子计算可以得到模板：

int pref[K+10],suff[K+10],dy[K+10];;
int Lagrange(int k,int dy[],ll x)
{
    if(x<=k+1) return dy[x];
    pref[0]=1;
    for(int j=1; j<=k+1; ++j) pref[j]=1ll*pref[j-1]*(x-j)%mod;
    suff[k+2]=1;
    for(int j=k+1; j>=1; --j) suff[j]=1ll*suff[j+1]*(x-j)%mod;
    ll ans=0;
    for(int i=1; i<=k+1; ++i)
    {
        ll tmp=1ll*dy[i]*pref[i-1]%mod*suff[i+1]%mod*finv[i-1]%mod*finv[k+1-i]%mod;
        if(k+1-i&1) ans=(ans-tmp+mod)%mod;
        else ans=(ans+tmp)%mod;
    }
    return ans;
}

F. The Sum of the k-th Powers

链接：https://codeforces.com/contest/622/problem/F

题意：给定 n、k，计算 ${\sum }_{i=1}^n{i}^k(1\le n\le 10^9,0\le k\le 10^k)$

思路：带入 $x=1$ 到 $k+1$，这前 $k+1$ 项，进行插值找到第 $n$ 项

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;

ll qpow(ll base,ll n,ll mod)
{
    ll ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=ret*base%mod;
        base=base*base%mod;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

const int K=1e6+10;
int fac[K+10],finv[K+10];

void init()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2; i<=K; ++i)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    finv[K]=qpow(fac[K],mod-2,mod);
    for(int i=K-1; i>=0; --i)
        finv[i]=1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
}

int pref[K+10],suff[K+10],dy[K+10];;
int Lagrange(int k,int dy[],ll x)
{
    if(x<=k+1) return dy[x];
    pref[0]=1;
    for(int j=1; j<=k+1; ++j) pref[j]=1ll*pref[j-1]*(x-j)%mod;
    suff[k+2]=1;
    for(int j=k+1; j>=1; --j) suff[j]=1ll*suff[j+1]*(x-j)%mod;
    ll ans=0;
    for(int i=1; i<=k+1; ++i)
    {
        ll tmp=1ll*dy[i]*pref[i-1]%mod*suff[i+1]%mod*finv[i-1]%mod*finv[k+1-i]%mod;
        if(k+1-i&1) ans=(ans-tmp+mod)%mod;
        else ans=(ans+tmp)%mod;
    }
    return ans;
}
int n,k;

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1; i<=k+2; ++i)
        dy[i]=qpow(i,k,mod);
    for(int i=1; i<=k+2; ++i)
        dy[i]=(1ll*dy[i]+dy[i-1])%mod;
    printf("%d\n",Lagrange(k+1,dy,n));
    return 0;
}