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在中学的平面几何或立体几何中,我们常说两个向量的内积为0,则二者是垂直的。因为可以清晰的画出图形,并且求出二者的夹角为90°。
但是对于三维以上的向量,你说它垂直就显得有点奇怪了。因为三维以上的图形我们是画不出来的。但这向量们的内积可是为0呢,因此我们给出它一个新的名字:正交。
其实高等数学中讲傅里叶级数的时候,也有正交这一概念,但是为函数之间的正交(两函数的“内积”为0)。这里的内积其实是它们在某定义内的积分为0。比如说cosx与sinx,在(-π,π)上的定积分为0,则这两函数正交。
我们今天的话题主要是向量之间的正交,但并非所给出的向量都是相互正交的,这点显而易见。对于非正交的向量组,如何转化为正交向量组呢?
这就是我们要说的施密特正交化。这个词,只要学习过线性代数的同学,都听说过,而且还略带畏惧,究其原因是施密特正交化的公式特别难记住。
Example1:假设有一组线性无关的向量 α1、α2,怎么去通过这两个向量构造出正交向量组呢?
我们先控制住一个向量:β1 = α1,那现在只要找到另外一个新的向量β2,使得β2与β1内积为0即可。那如和寻找呢?
因为β2是由β1、α2
构造而成,所以我们可以假设:
因为β2与β1内积为0,则
即
因此
这里我们可以直接令k2 = 1,因为内积为0,所以其中某个向量乘以一个非0的数,结果都不会改变。于是我们的得出了新的一组正交向两组β1与β2。
Example2:如果线性无关的向量组含有三个向量α1、α2、α3,如何转化为三个相互正交向量呢?
根据例1可知,我们目前已经由α1、α2构造出了两个正交的向量β1与β。因此可以作如下假设:
再由(β1,β3)= 0,推出
其中(β1,β2)= 0。
再由(β2,β3)= 0,推出
其中(β1,β2)= 0。
因此
同样,我们令k3 = 1,则
推广:从上述两个例子,我们可以找到这样的规律,对于n个线性无关的向量,将其正交化的公式为:
通过这种变换为正交向量的方法我们称之为格拉姆-斯密特正交化。
对于这样的一个公式,说真的很容易忘记,但根据我们这种推导,以后忘记了,我们也可自己推算出来,学习数学真的不能靠硬记。
施密特正交化,可以将一组基转化为正交基,通常在正交分解(QR分解)中应用。我们之后会讲到。