揭秘施密特正交化

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在中学的平面几何或立体几何中，我们常说两个向量的内积为0，则二者是垂直的。因为可以清晰的画出图形，并且求出二者的夹角为90°。

但是对于三维以上的向量，你说它垂直就显得有点奇怪了。因为三维以上的图形我们是画不出来的。但这向量们的内积可是为0呢，因此我们给出它一个新的名字：正交。

其实高等数学中讲傅里叶级数的时候，也有正交这一概念，但是为函数之间的正交（两函数的“内积”为0）。这里的内积其实是它们在某定义内的积分为0。比如说cosx与sinx，在（-π，π）上的定积分为0，则这两函数正交。

我们今天的话题主要是向量之间的正交，但并非所给出的向量都是相互正交的，这点显而易见。对于非正交的向量组，如何转化为正交向量组呢？

这就是我们要说的施密特正交化。这个词，只要学习过线性代数的同学，都听说过，而且还略带畏惧，究其原因是施密特正交化的公式特别难记住。

Example1：假设有一组线性无关的向量 α1、α2，怎么去通过这两个向量构造出正交向量组呢？

我们先控制住一个向量：β1 = α1，那现在只要找到另外一个新的向量β2，使得β2与β1内积为0即可。那如和寻找呢？

因为β2是由β1、α2

构造而成，所以我们可以假设：

因为β2与β1内积为0，则

即

因此

这里我们可以直接令k2 = 1，因为内积为0，所以其中某个向量乘以一个非0的数，结果都不会改变。于是我们的得出了新的一组正交向两组β1与β2。

Example2：如果线性无关的向量组含有三个向量α1、α2、α3，如何转化为三个相互正交向量呢？

根据例1可知，我们目前已经由α1、α2构造出了两个正交的向量β1与β。因此可以作如下假设：

再由（β1，β3）= 0，推出

其中（β1，β2）= 0。

再由（β2，β3）= 0，推出

其中（β1，β2）= 0。

因此

同样，我们令k3 = 1，则

推广：从上述两个例子，我们可以找到这样的规律，对于n个线性无关的向量，将其正交化的公式为：

通过这种变换为正交向量的方法我们称之为格拉姆-斯密特正交化。

对于这样的一个公式，说真的很容易忘记，但根据我们这种推导，以后忘记了，我们也可自己推算出来，学习数学真的不能靠硬记。

施密特正交化，可以将一组基转化为正交基，通常在正交分解（QR分解）中应用。我们之后会讲到。