【多目标优化算法】基于分解的多目标进化算法 MOEA/D

多目标优化算法：基于分解的多目标进化算法 MOEA/D

相关概念

1. MOP-多目标优化
   多目标优化问题(MOP)：
   $$maxF(x)=(f_1(x),,,f_m(x){)}^T$$
   $$subjecttox\in \Omega$$
   $\Omega$是决策空间，$F:\Omega \to R^m$包含m个实数值目标函数，$R^m$被称为目标空间，{$F(x)|x\in \Omega$}为可得到目标集合
   if $x\in R_n$，所有的连续目标和$\Omega$被描述为
   $$\Omega =\{x\in R^n|h_j(x)\le 0,j=1,...,m\}$$

MOEA/D的特点

1. 将多目标问题分解成一定数量N的子问题，再同时进行优化每个子问题，简单但是有效
2. 由于MOEA/D算法利用相邻子问题的解同时优化多个子问题而不是优化整体，MOEA/D对保持多样性和降低适应度分配的难度都有很好的表现
3. 当MOEA/D算法当遇到种群数量较小时，也可以产生分步均匀的解。
4. T为最接近的相邻子问题的数量，当T太小时，搜索域太小；当T太大时，产生的解质量会下降。
5. 相比于NSGA-II和MOGLS，MOEA/D有较好的计算复杂度，MOGLS和MOEA/D在解决0-1背包问题时，使用相同的分解方法，MOEA/D的解更优。在有个3目标连续测试中，使用一个先进分解方法的MOEA/D算法的表现比NSGA-II优秀许多。

MOEA/D的分解策略

1. 权重求和法(Weighted Sum Approach)
   使$\lambda =({\lambda }_1,......,{\lambda }_m{)}^T$为一个权重向量，对所有的$i=1,...,m$有${\lambda }_i\ge 0$且${\sum }_{i=1}^m=1$.对于优化问题：
   $$max{g}^{ws}(x|\lambda )=\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{f}_i(x)$$
   $$subjecttox\in \Omega$$
   当$x$是需要被优化的变量时，$\lambda$在目标函数中是一个系数向量。在上面标量化的问题中，我们可以使用不同权重的$\lambda$以生成一组不同的Pareto最优向量。不是每个Pareto最优向量可以通过这种方法获得非凹PFs.。

2. 切比雪夫法(Tchebycheff Approach)

   标量优化问题如下：
   $$min{g}^{te}(x|\lambda ,z^{\ast })=\underset{1\le i\le m}{\max }\{{\lambda }_i|f_i(x)-z_i^{\ast }|\}$$
   $$subjecttox\in \Omega$$
   其中$z^{\ast }=(z_1^{\ast },...,z_m^{\ast }{)}^T$是参照点，对于每个$i=1,,,m$，$z_i^{\ast }=max\{f_i(x)|x\in \Omega {\}}^3$。一个能够获得不同Pareto最优解的方式是交换权重向量。一个缺点是，对于连续的MOP，使用这种方法的聚合函数不平滑。然而这种方法仍然可以使用在我们提出的EA框架中，因为我们不需要计算该聚合函数的倒数。

3. 边界交叉法(Boundary Intersection)

$$min{g}^{bi}(x|\lambda ,z^{\ast })=d$$
$$subjectto{z}^{\ast }-F(x)=d\lambda ,x\in \Omega$$
当$\lambda$和$z^{\ast }$分别是权重向量和参考点时，上图中约束$z^{\ast }-F(x)=d\lambda$保证$F(x)$这个点总是在方向为$\lambda$且穿过$z^{\ast }$的直线L上。优化的目标是尽可能高的将F(x)推至可达到目标集合的边界上。
​
上述方法其中有个最大的缺点是处理相等约束。我们可以使用罚函数来解决约束问题，具体如下：

$$min{g}^{bip}(x|\lambda ,z^{\ast })=d_1+\theta d_2$$
$$subjecttox\in \Omega$$
where
$$d_1=\frac{\Vert (z^{\ast }-F(x){)}^T\lambda \Vert }{\Vert \lambda \Vert }$$
$$and{d}_2=\Vert F(x)-(z^{\ast }-d_1\lambda )\Vert$$
$\theta >0$是一个预设的惩罚参数。$y$是F(x)在直线L上的投影，$d_1$是$z^{\ast }$和y的距离，$d_2$是F(x)和L的距离。当$\theta$去适当的值时，两种边界交叉法的结果会非常接近。

MOEA/D的算法步骤(Tchebycheff Approach)

令${\lambda }^j=({\lambda }_1^j,...,{\lambda }_m^j{)}^T$为一组均匀分布的权重向量，$z^{\ast }$为参考点，第j个问题的目标函数为：
$$g^{t}e(x|{\lambda }^j,z^{\ast })=\underset{1\le i\le m}{\max }\{{\lambda }_i^j|f_i(x)-z_i^{\ast }|\}$$
MOEA/D可以在一次运行中，同时优化所有这N个子问题目标函数。
在MOEA/D中，权重向量的邻居中取几个最接近的权重向量，每一代的种群由每个子问题的最优解组成。只有相邻子问题可以进行优化当前的解。

YES

NO

开始

初始化种群

为每个子问题分配权重向量

运用遗传算子使相邻问题的最优解产生当前问题的解

根据聚合函数更新父代种群

满足终止条件

结束

每一代(t)，MOEA/D(Techebycheff)包括：

• $x^1,...,x^N\in \Omega$由N个点组织成的种群，$x^i$是第i个问题的当前解
• $F{V}^i,...,F{V}^N$,$F{V}^i=F(x^i)$
• $z=(z_1,...,z_m{)}^T$,$z_i$是目标$f_i$中已发现最好的值。
• EP用来存储咋搜索过程中的非支配解

Input:

• MOP(1);
• 算法停止条件
• N：分解成的子问题的个数
• N个分布均匀的权重向量
• T：每个权重向量相邻的权重向量的个数
  Output:EP

Step 1) 初始化：
​ Step 1.1) Set EP = $\varnothing$。

​ Step 1.2) 计算任意两个权重向量的欧氏距离，找出每个权重向量最近邻的T个权重向量，对每一个 $i=1,...,N$,设$B(i) = {i_1,…,i_T}, $其中$ \lambda^{{i1},…,\lambda}{iT}$是最接近$\lambda^i$的N个权重向量。

​ Step 1.3) 随机或者使用特定方法生成一个初始化种群$x^1,...,x^N$。设$F{V}^i=F(x^i)$。

​ Step 1.4) 根据特定的问题初始化$z=(z_1,...,z_m{)}^T$。

Step 2) 更新：
​ 循环对$i=1,...,N$做以下操作
​ Step 2.1)繁殖： 从$B(i)$中随机选择两个索引$k,l$，$x^k$和$x^l$使用遗传算子生成新的解$y$。

​ Step 2.2)改善： 根据特定问题，使用启发式方法改进$y$生成$y^{\prime }$。

​ Step 2.3)更新z： 对于每一个$j = 1 , …,m $，如果$z_j < f_i(y’)$,使$z_j = f_j(y’)$。

​ Step 2.4)更新邻域解： 对每个属于$B(i)$的索引j，如果$g^{te}(y^{\prime }|{\lambda }^j,z)\le g^{te}(x^j|{\lambda }^j,z)$，则令$x^j=y^{\prime }$ ，$F{V}^j=F(y^{\prime })$。

​ Step 2.5)更新EP：
​ 1.删除EP中所有被$F(y^{\prime })$支配的向量。
​ 2.如果EP中没有向量支配$F(y^{\prime })$，则将$F(y^{\prime })$加入到EP中。

Step 3)停止条件： 如果满足停止条件，停止并且输出EP，否则则跳转至Step 2。

MOEA/D与NSGA-II的对比

1. 评价准则

1.1 C-Metric
​ A和B是MOP问题的两个接近的PF集合
$$C(A,B)=\frac{|\{u\in B|\exists v\in A:vdominatesu\}|}{|B|}$$
$C(A,B)$不等于$1-C(B,A)$。$C(A,B)=1$表示B中所有的解都被A中的一些解支配。当$C(A,B)=0$表示B中没有解被A中支配。
1.2 D-Metric
​ 令$P^{\ast }$为沿着PF的一组分布均匀的点，令A为接近PF的集合，$P^{\ast }$和A的平均距离定义如下：
$$D(A,P^{\ast })=\frac{\sum _{v\in P^{\ast }}d(v,A)}{|P^{\ast }|}$$
$d(v,A)$是$v$和A中的点之间的最小欧氏距离。如果$|P^{\ast }|$足够大，说明集合很好的代表了PF，$D(A,P^{\ast })$可以一定程度上评估A的多样性和收敛性。

2. MOEA/D与NSGA-II的对比

2.1 时间复杂度对比

​ 采用改良的MOEA/D进行实验，去掉了额外种群EP,因此去掉步骤2.5，去掉了启发式优化过程，因此删去了步骤2.2，所以时间复杂度主要在步骤2部分。步骤2.3进行了$O(m)$次比较，步骤2.4部分的时间复杂度为$O(mT)$，由于分成了N个子问题，所以改良的MOEA/D的时间复杂度为$O(mTN)$。而NSGA-II的时间复杂度为$O(m{N}^2)$。因为N为权重向量的个数，而T为一个权重向量相邻的权重向量的个数，所以$T<N$，故而MOEA/D的时间复杂度比NSGA-II要小，但时间复杂度的优势不是非常明显。
2.2 空间复杂度对比

​ 改良后的MOEA/D没有EP，只有m个参照点z需要存储，但是与一代种群大小相比，所占空间非常小，我觉得两者是空间复杂度上没有特别大的差别。

2.3 测试函数及实验结果
根据论文中，针对2个目标问题将NSGA-II和MOEA/D的种群大小都100。针对3目标问题，种群数都设为300，都采用模拟二进制的交叉变异和多项式变异，$p_c=1.0,p_m=1/n,T=20$

• ZDT1

$$f_1(X)=x_1$$
$$f_2(X)=g(X)[1-\sqrt{x_1/g(X)}]$$
$$g(X)=1+9(\sum _{i=2}^n{x}_i)/(n-1)$$

$$n=30,$$
$$x_1\in [0,1],x_i=0$$

                NSGA-II                MOEA/D

• ZDT2

$$f_1(X)=x_1$$
$$f_2(X)=g(X)[1-(x_1/g(X){)}^2]$$
$$g(X)=1+9(\sum _{i=2}^n{x}_i)/(n-1)$$

$$n=30,$$
$$x_1\in [0,1],x_i=0$$

                NSGA-II                MOEA/D

• ZDT3

$$f_1(X)=x_1$$
$$f_2(X)=g(X)[1-\sqrt{x_1/g(X)}-\frac{x_1}{g(X)}\sin (10\pi x_1)]$$
$$g(X)=1+9(\sum _{i=2}^n{x}_i)/(n-1)$$

$$n=30,$$
$$x_1\in [0,1],x_i=0$$

                NSGA-II                MOEA/D

• ZDT4

$$f_1(X)=x_1$$
$$f_2(X)=g(X)[1-\sqrt{x_1/g(X)}]$$
$$g(X)=1+10(n-1)+\sum _{i=2}^n[x_i^2-10\cos (4\pi x_i)]$$

$$n=10,$$
$$x_1\in [0,1],x_i=0$$

                NSGA-II                MOEA/D

• ZDT6

$$f_1(X)=1-exp(-4\pi x_1){\sin }^6(6\pi x_1)$$
$$f_2(X)=g(X)[1-(f_1(X)/g(X){)}^2]$$
$$g(X)=1+9[(\sum _n^{i=2}{x}_i)/(n-1){]}^{0.25}$$

$$n=10,$$
$$x_1\in [0,1],x_i=0$$

                NSGA-II                MOEA/D

• DTLZ1
  $$f_1(X)=(1+g(X))x_1{x}_2$$
  $$f_2(X)=(1+g(X))x_1(1-x_2)$$
  $$f_3(X)=(1+g(X))(1-x_1)$$
  $$g(X)=100(n-2)+100\sum _{i=3}^n\{(x_i-0.5{)}^2-\cos [20\pi (x_i-0.5)]\}$$

$$x=(x_1,...,x_n{)}^T\in [0,1{]}^n$$

                NSGA-II                MOEA/D

• DTLZ2
  $$f_1(X)=(1+g(X))\cos (\frac{x_1\pi }{2})\cos (\frac{x_2\pi }{2})$$
  $$f_2(X)=(1+g(X))\cos (\frac{x_1\pi }{2})\sin (\frac{x_2\pi }{2})$$
  $$f_3(X)=(1+g(X))\sin (\frac{x_1\pi }{2})$$
  $$g(X)=\sum _{i=3}^n{x}_i^2$$
  $$x=(x_1,...,x_2{)}^T\in [0,1{]}^2\ast [-1,1{]}^{n-2}$$

                NSGA-II                MOEA/D

$\Delta$的Mean

Problem	ZDT1	ZDT2	ZDT3	ZDT4	ZDT6	DTLZ1	DTLZ2
NSGA-II	0.642	0.706	0.425	1.00	0.610	0.945	0.0323
MOEA/D	1.00	1.00	0.931	1.00	0.041	0.830	0.0281

$\gamma$的Mean

Problem	ZDT1	ZDT2	ZDT3	ZDT4	ZDT6	DTLZ1	DTLZ2
NSGA-II	0.00574	0.0662	0.00614	29.299	0.00397	72.558	0.07819
MOEA/D	0.0177	0.4017	0.0135	15.672	0.00635	44.726	0.4634

可以从图的对比和表中$\Delta$与$\gamma$两个参数的对比看出，在两目标问题上，两者算法相差不多，甚至在ZDT1、ZDT2、ZDT3等问题上NSGA-II更优一些，但是在ZDT6上MOEA/D表现的更好，MOEA/D的主要优势在算法的计算速度上，在面对三目标问题时，MOEA/D比NSGA-II要优秀很多。