Catalan数的通项公式(母函数推导)

首先
$$h_n=\sum _i{h}_i{h}_{n-i-1}$$
写出 $h$ 的母函数 $H(x)$
那么
$$H(x)=H^2(x)x+1,H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$
(解二元一次方程取符号时候要看是否收敛)

引入牛顿二项式
$$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^{\alpha -k}{y}^k$$
其中
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}\right)=\prod _{i=1}^k\frac{\alpha -i+1}{i}$$
展开可以得到
$$H(x)=\frac{1-{\sum }_{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k}\right)(-4x{)}^k}{2x}$$
$$=-\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k+1}\right)(-4{)}^{k+1}{x}^k$$
$$=2\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k+1}\right)(-4x{)}^k$$
那么
$$h_n=2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n+1}\right)(-4x{)}^n=2\frac{{\prod }_{i=0}^n(\frac{1}{2}-i)}{(n+1)!}(-1{)}^n{2}^{2n}$$
$$=\frac{{\prod }_{i=0}^n(1-2i)}{(n+1)!}(-1{)}^n{2}^n=\frac{{\prod }_{i=1}^n(2i-1)}{(n+1)!}{2}^n=\frac{(2n-1)!!}{(n+1)!}{2}^n$$
而
$$(2n-1)!!+2^{n}n!=(2n)!$$
所以
$$h_n=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$
完美解决