如何理解矩阵特征值？again

昨晚睡前重新又翻了翻马同学的经典文章，《如何理解矩阵特征值》。可能是因为有一些残留的想法在脑子里，做了一个奇异的梦。

一个梦境。
梦里重构了一个现实，因为回想不起更多的关于那个现实里的回忆，本能地觉察到有人用新的不属于我的记忆覆盖了我原本的记忆，出现了类似排异反应。梦里还出现了女巫，某种超越梦境现实的神秘力量，理论上可以存在，因为梦本来就是一个剧本。但这个剧本的作者并非现实中的“我”，甚至“我”浑然不知。在梦境之中，我拥有自由意志又没有自由意志。正如现实之中，我也不知道是否存在超越现实的力量操控着我们的命运。或者它根本就是一个布朗运动，所有粒子随机碰撞、反弹才是世界的本质，是每一个微小个体的随机决定，构筑了现实的真实样貌。
好了。言归正传。

如何理解矩阵的本质是运动？

在矩阵A右边乘上向量p，用于观察A矩阵的运动。
原始坐标系：p初始坐标为（m，n）
第1旋转坐标系：新坐标系a轴（-√2/2，√2/2），b轴（√2/2，√2/2），因为都是单位向量且正交，所以投影值刚好就是坐标值。此处计算结果为p在a b坐标轴下的坐标。
第2拉伸坐标系：c 轴是a轴拉伸3倍，d轴是b轴拉伸1倍。此处计算结果为p在c d坐标轴下的坐标。
第3反旋转坐标系：坐标系e轴（-√2/2，√2/2），f轴（√2/2，√2/2），因为都是单位向量且正交，所以投影值刚好就是坐标值。此处计算结果为p在e f坐标轴下的坐标。 记为点P。

1、可以看到如果不存在拉伸，那么向量p在A矩阵的作用下没有变化。
2、如果存在拉伸且P和p共线，那么向量p就是向量A的特征向量，|P|/|p|的比值就是特征值的大小。
3、其他就是一般情况。p在A的作用下变换到P。

继续分析：
拉伸变换以后仍保持共线存在两种可能
1 、所有坐标轴等比例拉伸。
2、p位于新坐标轴上，只受其中一维拉伸的影响。
因为λ并不相等，所以第一个旋转用于将p旋转到新坐标轴上，对角矩阵用于拉伸，第二个旋转用于恢复成原坐标。

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如何理解矩阵的逆？单位正交矩阵的转置矩阵就是逆矩阵。

对于单位正交基ijk，abc，abc在i下的坐标即i在abc下的坐标。
如果一个单位正交矩阵代表坐标轴旋转，那么该矩阵的转置就是旋转的逆变换。
(a i代表a在i下的坐标)
[ai aj ak
bi bj bk
ci cj ck]
转置以后：
[ai bi ci
aj bj cj
ak bk ck]
即
[ia ib ic
ja jb jc
ka kb kc]
左乘P矩阵，从ijk坐标轴变换到abc坐标轴；再左乘P矩阵的逆（转置），从abc坐标轴变换为xyz坐标轴。
更广泛地来说，乘以一个矩阵，再乘以它的逆矩阵相当于做了一次无效变换，坐标不变。

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矩阵的行列式本质

证明：两个二维向量的叉乘即对应平行四边形的面积

二维情况下，行列式的含义是坐标轴经伸缩变换后，面积的放大倍数。上面的情况可以想象是（0，1）（1，0）在矩阵[(a c) ,(b d)] 的变换下映射到了（a，b）（c，d），det（A）为ad-bc。原来的面积是1，现在面积是1*（ad-bc）

行列式的本质是什么？童哲知乎

1，行列式det(A)是针对一个n*n 的矩阵而言的。表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成n维空间中的一个新立方体。
2，原来立方体有一个体积V1，新的立方体也有一个体积V2。
3，行列式det(A)是一个数对不对？这个数其实就是V2/V1，结束了。就这么简单？没错，就这么简单。

所以说：行列式的本质就是一句话：行列式就是线性变换的放大率！