Optimal Auction Design 最优拍卖论文笔记

分享一篇经典的myerson 的拍卖设计机制论文。

1, Introduction 

针对seller 给众多竞价者拍卖物品，如何获得最大的收益的问题，本文提出一种较普遍的优化方法(construct such optimal auctions for a wide class of sellers' auction design problems). 

2, Basic Definitions and Assumptions

（本节声明一些基本的概念）

约定一个seller 准备出售某个商品(object)，有n个bidders。每个bidder i 对该object有一个估计的价值ti (i's value estimate)，也即其最大可承担的竞价。

名词约定：

• 假设ti 对上下限为 ai, bi, 竞价者bider i 的value estimate distribute 即出价分布函数为fi，fi(ti) > 0，而且fi 为一个在区间[ai, bi]上连续的函数。
• 对应的累计密度函数Fi 即：  Fi(ti) = ∫ _ai ^ti fi(si) ds_i;   Fi(ti) 也是seller 对竞拍者bidder i 的竞价<= ti 的估计概率。
• T 表示bidders 对估计价值ti 的所有可能组合： [a1, b1] *  [a2, b2] * .. *  [an, bn] 
• T_-i 表示除去bidder i 之外对所有bidders 的估计价值的组合之和 
• 假设所有n个竞价者是相互独立对随机变量，即其联合概率分布为所有fi(*) 的乘积。

各个竞拍者出价独立的两个主要因素：1，偏好不确定，此时竞拍者i 了解到对竞拍者j 的出价信息不影响i 去修改自己的出价，2，对商品的质量（价值）的估计不确定 (quality uncertainly)，此时竞拍者i 了解到对竞拍者j 的出价信息后会修改自身的出价。

假设存在n个出价调整函数 ej: [ai, bi]，表示另一个竞拍者i 获知到tj 是竞拍者j 对商品的价值估计后修改自身出价的方式，ej(tj)=0即对自身出价的了解不影响其原始出价。如果i 获知了全部 t=(t1, .., tn) 的出价信息后，i将修改其对商品的估计价值为（公式 2.7）： 

相应的，seller 获得N个竞价者对出价后重新调整其对自身的估价为（公式 2.8）：

小结：

• f(ti) 即竞拍者i 对商品的价值估计为ti 的概率分布函数。
• vi(t) 即竞拍者i 考虑其他竞拍者对商品的价值估计后，修正的价格估计。

3, Feasible Auction Mechanisms 

（本节阐述可行性拍卖机制的基本条件）

以直接报价机制(direct revelation mechanisms) 为例展开。

给定估计报价t=(t1, .. tn), 直接报价机制的支出函数outcome functions (p, x) ，其中pi(t) 即竞拍者i 商品竞拍成功的概率，xi(t) 即此时i 给seller 的期望付费金额。

约定seller 和所有竞拍者都是中性风险倾向的，对商品有各自的独立的收益函数(utility function)，竞拍者i 的期望效用函数是 （公式 3.1）：

其中，f_-i 即竞拍者i 和平台方 seller 估计除去i 之外的各竞拍者的出价的联合概率分布（独立，独立分布的乘积），之所以不包含自身的出价概率分布函数，是因为假定竞拍者已经按给定的出价ti以给定的概率pi 获得商品为一确定性事件。

解释： 即竞拍者对商品本身估计的价值收益v*p - 竞拍者为这个商品付出的成本 的累计积分。

与之相对应，seller 对这次竞拍的期望收益为 （公式 3.2）：

解释：即庄家不出售商品时自身对其的价值估计 v₀(1-sum(p)) + 出售商品时从竞拍者处获得的支付收益 的累计。

对(p, x) 的一些约束条件：

• 公式3.3：（概率约束 probability constraints） 由于每次只有一个商品拍卖，所以有 ：

• 公式3.4：（个体理性约束 individual-rationality constraints）由于seller不能强制竞拍者参加，所以需要保证每个竞拍者参与进来的收益非负才有动力参加，即 ：

假设竞拍者有隐瞒自己的估计从而期望获得额外收益，这时候应该保证诚实报价的状态是一种纳什均衡状态。假设竞拍者i 声称si 是他的声称估计而ti是他的真实估价，那么他的期望效益函数为：

说明：竞拍者i 获得物品的收益变成受两个因素的影响 pi(t _-i, si)， 为拍得商品支付的成本xi 也是。

• 公式3.5： （激励相容约束 incentive-compatibility constraints）从而，为保证每个竞拍者都没有动力隐瞒报价，需要满足如下的激励相容的条件（隐瞒后的期望收益更小）：

本文称满足以上3个条件的拍卖机制是可行的feasible。that is, if the seller plans to allocate the object according to p and to demand monetary payments from bidders according to x, then the scheme can be implemented, with all bidders willing to participate honesty. 

在一个一般性的拍卖中，每个bidder有一些候选策略 Theta_i, 以及其对应的收益函数：

一个拍卖机制auction mechanism 涉及到各个竞拍者使用的一系列strategic plans 参与游戏中。a strategic plan即一个[ai, bi] → Thetai 的规则函数，Thetai即当竞拍者对商品的估价是ti 时采取的竞拍策略。Direct revelation mechanisms直接报价机制即 Thetai(ti) = ti 。 

定理1：给定任何的可行拍卖机制，总存在一个等价的可行的直接报价机制，可以给seller和所有竞拍者带来与之相同的收益。

（小结：可行拍卖的3个条件：竞拍成功的概率非负、竞拍者的效用函数非负: 挣的比花的多、激励相容: 鼓励说真话）

4 Analysis of the problem

（本节展开拍卖机制的更多属性，确定具体的竞拍标准和计费标准 ）

定义bidder i 在(p, x)的拍卖机制下，当i 的估价是ti 时竞拍成功的条件概率为 （公式4.1）：

【个人理解】：条件概率部分可以理解为给定其他竞拍者的出价分布f-i 时。

定理2（公式4.2-4.4）：

【个人理解】：公式4.2适当加强条件即函数Q 是拍卖者i 对商品的估价t 的单调不减函数；同时是f_-i 对竞拍者i 对商品的估价t 的单调不减函数（对应有Ui是凸函数）。公式4.3的第1部分即最低价时的收益与成本之差，第2部分的积分为提高竞价后的收益 - 增加的支付给平台的成本（why？）。

证明：基于公式2.8 对vi(t)的假设（即用修正价vi 展开后的方式: vi + (ti - si) 表示），可推出公式3.5的如下等价公式4.6：

即上式的右侧为公式4.6 。

将4.6 互换一次si, ti后，可得如下当si<=ti 时（此时公式4.6的第2个因子为非负数）的公式4.2：

进一步推导出公式4.3： 

个人理解：上式即公式4.3的来源。如果将sigmia 看作积分运算的deltaXi, 则上式上方的不等式的最左侧与最右侧的式子都可视为做离散值积分时的每个累加因子项，不等式中间的部分即积分的递归减运算（简化形式），上式左侧积分的解释是竞拍获得商品的条件概率在对应的出价上的积分结果，即Qi可看做Ui的导数。

继续证明定理2中的条件能够推出公式3.4 和公式4.6，从公式4.3 和公式4.4 即可推出公式3.4，

从公式4.2 和公式4.3 可推出公式4.6如下：

定理3： 假设p: T → R^n 最大化下式 (suppose that p: T→R^n maximizes: 公式4.7 )：

约束条件是公式4.2 和公式3.3。继续假设（Suppose also that：公式4.8 ）：

那么，（p, x）代表一个最优拍卖-平台收益最大（Then (p, x) represents an optimal auction）。

【个人理解】：以上两个式子即对应广告服务系统的排序与计费模块。公式4.7 如何体现边际收益？ 

证明：

基于公式3.2（即平台收益函数，将其第2个积分部分展开为下式右侧的两个积分之和），有seller's 目标函数（平台的目标收益） 公式4.9：

将上式4.9右侧的最后一个积分求和进行分解，基于定理2有公式4.10 如下：

上式推导中，有fi(ti) 在上下界[ai, bi] 之间的积分=1，同时上式的(1-Fi)*f_-i(*) 即相对于公式4.7 中的f(*)*(1-Fi)/fi(*)。

根据公式2.7 和公式2.8，有公式4.11：  vi(t) - v0(t) = ti - t0 - ei(ti).

将公式4.10和公式411 代入公式4.9 有公式4.12 ：

因而，seller的问题是如何在满足公式4.2、4.3、4.4、3.3 的约束条件下，最大化公式4.12 。

此时，x只在公式4.12的目标函数的最后一项中出现。

约束条件公式4.3 和4.4 可以重写为：

因而当seller 按公式4.8 选择x 时（代入上式等式左侧即得内部积分为0），即满足公式4.3和4.4的约束。既有： 

which is the best possible value for this term in (4.12)。（【个人理解】: 所有竞拍者的最低估价时的收益都为0）

因而通过使用公式4.8，我们可以将x 从平台方的优化问题中去除。而且公式4.12的第2项为独立于(p, x) 的常数。因而这个目标函数可以简化为公式4.7，以及公式4.2、公式3.3 对应的约束条件。从而完成了定理3的证明。

推论（收入平衡理论）Corollary(The revenue-Equivalence Theorem):

平台方seller 在一个可行拍卖机制下的期望收益有概率函数p 和所有竞拍者的收益函数Ui(p, x, ai)完全决定。

一旦在某次出价时竞拍者（以概率p）获得了商品,以及每个竞拍者在其最低出价时的期望收益，那么平台方seller的期望收益不依赖于竞拍者的支付函数x。【once we know who gets the object in each possible situation(as specified by p) and how much expected utility each bidder would get if his value estimate were at its lowest possible level ai, then the seller's expected utility from the auction does not depend on the payment function x.】

举例：平台方seller在满足如下两个条件的拍卖中的期望收益相等：1，由出价最高且该价>t0的拍卖者获得商品。2，每个竞拍者在其估价是最低可能值时对应的期望收益为0. 【(1) the object always goes to the bidder with the highest value estimate above t₀ and (2) every bidder would expect zero utility if his value estimate were at its lowest possible level】。

If the bidders are symmetric and all ei=0 and ai=0, then the Dutch auctions and progressive auctions studied in {11} both have these two properties, so Vickrey's equivalence results may be viewed as a corollary of our equation(4.12). However, we shall see that Vickrey's auctions are not in general optimal for the seller.

5. Optimal auctions in the regular case

按简单正规假设 (simple regularity assumption)，可以根据定理3 直接设计最优拍卖方案。

We may say that our problem is regular if the function is a monotone strictly increasing function of ti（公式5.1，严格单调递增函数）：

【个人理解】：ci 即公式4.7 中的项。相对于新的排序公式，如何理解其意义（ti代表的范畴可实验bid、+ctr、+ctr&gmv）？

【补充资料】上式成为实质价值（virtual value）， fi / (1-Fi(ti)) 公式又称为道德率函数(hazard rate function)。

推导过程：假设seller定了一个价格p，要求拍卖者i按这个价买走或走开，则i买走的概率为1-F(p)，即i的估价超过p的概率，这个购买概率可看成是i的需求概率（需求数量）。其需求曲线可写为q(p) = 1-F(p), 逆需求曲线为p(q)=F^-1(1-q), 其中q是购买概率或数量。seller的收益函数为: U0=p(q)*q=q*F^-1(1-q)，将其对q求导有： DU0/Dq = 

考虑如下拍卖机制：如果t0>max(ci(ti)) 时不出售（此时对应定理3的公式4.7 的值为负数，即收益未负），否则出售给最大的ci(ti) 的一方。对应的拍卖机制为（公式5.2）：

该拍卖机制下最大化的目标为（即公式4.7的积分公式内的因子）：

对应的约束条件为： sum(pj(t)) <=1,  pi(t) >=0 。因而p 最大化公式4.7 且约束条件为公式3.3 ，为验证其也满足公式4.2，需要使用regularity。假设si-i, si) <= pi(t_-i, ti)。那么给定条件：竞拍者i 对商品的估价ti时能赢得商品的概率Qi(p, ti) 是ti 的递增函数，因而公式4.2 满足。所以p 满足定理3 的所有条件。

继续展开构建最优拍卖的过程，we let x be as in (4.8)（利用公式2.7展开vi）: 

【个人理解】：即出价t时支付的费用为其收益减去 其出价较低时的累计竞拍收益之和。

将上式改写得更直观一些 如下公式5.3：

 即zi 是给定i 和 t_-i 时所有拍卖赢了的出价的下确界Infimum（Then z is the infimum of all winning bids for i against t _-i）。【个人理解】：该式即竞拍者i 不比所有其他竞拍者的ci(*) 以及t0的值小时对应的最小出价si。

因而有如下公式5.4、 公式5.5、公式5.6：

公式5.5 即将公式5.4 代入左侧的积分项中，且为保证竞价成功必须满足从下确界zi开始。

公式5.6 即公式4.8 的变化后形式（将先按2.7展开，再将公式5.5代入即得）。即竞拍者只有在赢得商品时才付费，此时支付的购买价格为 vi(t _-i, zi(t _-i))【个人理解：zi实际值为对应的竞拍估价】, the amount which the object would have been worth to him if he had submitted his lowest possible winning bid .

If all the revision effect functions are identically zero (that is, ei(ti) = 0), and if all bidders are symmetric (ai = aj, bi = bj, fi(*) = fj(*)) and regular, then we get （公式5.7）

【个人理解】上式中C的逆函数即当ci(*)=t0 （seller的最低价时）反解出的ti。

此时的最优拍卖为modified Vickrey auction：seller 提交一个竞拍价c_i^-1(t0) 即上式的第1个因子，

(notice that all Ci = Cj in this symmetric case, and regularity guarantees that Ci is invertible 正则性保证Ci可逆) ，然后将商品按第2高价卖给出价最高的拍卖者。此时的条件是 the bidders are symmetric and the Ci(*) functions are strictly increasing. 

For example, suppose t0 = 0, each ai = 0, bi = 100, ei(ti) = 0, and fi(ti) = 1/100, for every i and every ti between 0 and 100. Then straightforward computations give us Ci(ti) = 2*ti - 100 【代入公式5.1中化简得到】, which is increasing in ti. So the seller should sell to the highest bidder at the second highest price, except that he himself should submit a bid of Ci^-1(0) = 0 + 100/2 = 50【按2*ti-100>=0解得对应的t0】, By announcing a reservation price of 50, the seller risks a probability (1/2)^n of keeping the object even though some bidder is willing to pay more than t0 for it; but the seller also increases his expected revenue, because he can command a higher price when the object is sold. 

Thus the optimal auction may not be expost efficient.  如果seller 不设置自己的保底价，则拍卖者较少时容易将拍卖价向下调低到接近于0，这样seller 的期望收益下降为0，而如果seller设置了保底价50%，则其期望收益不低于25。

when the bidders are asymmetric, the optimal auction may some- times even sell to a bidder whose value estimate is not the highest. 举例：给定 ei(ti) = 0 and fi(ti) = 1/(bi - ai) （均匀分布，没有修改的影响 no revision effects）时有： ci(ti) = 2*ti - bi, 其是ti 的递增函数。ci(ti) 最大的竞拍者赢得商品，如果 bi cj）。In effect, the optimal auction discriminates against bidders for whom the upper bounds on the value estimates are higher. This discrimination discourages such bidders from under-representing value estimates close to their high b, bounds（最优拍卖对那些估计价格的上限更高的竞拍者有歧视效应，【个人理解：如果某个竞拍者对商品的估价上边界越大，则其在报与其他竞拍者相等的ti 时其ci(*) 反而越小，也即鼓励高估值的竞拍者报更高的价格】）. 

6. Optimal auctions in the general case

Without regularity, the auction mecha- nism proposed in the preceding section would not be feasible, since it would violate (4.2)。 

回顾上文中定义的非负f(*) 的累计分布函数Fi 在定义域[ai, bi] 满足连续与严格单调递增假设，从而有存在逆函数且满足连续与严格单调递增。

定义公式6.1 与公式6.2： 

【个人理解】：逆函数hi(q) 的自定义域为[0, 1]，公式6.1即用逆函数的形式代替公式5.1中对应的项后得到。

let Gi:[0,1]->R be the convex hull of the function Hi(*)（Hi函数的凸包） ;  in the notation of Rockafellar ([9, p. 36]) 公式6.3：

That is, Gi(*) is the highest convex function on [0,1] such that Gi(q) < Hi(q) for every q（Hi 为凸函数的性质决定的）。

Gi(*) 是连续可微的凸函数，其导数gi(q) 单独递增，且右连续 。

公式6.5： 

( in the regular case when ci(*) is increasing, we get Gi = Hi, gi = hi, and c_i^~ = ci. 【个人理解】最后一个等式为何成立？)

对于任何给定的价值估计向量t, 定义M(t) 为c _i~(ti) 为最大值 且该值大于t0 的竞拍者集合 （公式6.6）：

主要结论：在最优拍卖中，商品应该出售给有最高C^~i(ti) 而且比底价t0高的竞拍者，称C^~i(ti) 为当竞拍者i 的估计出价为ti 时的优先等级。

定理：

公式6.7、公式6.8：

满足上式两组公式时，(p~, x~) 为一种最优拍卖。

（个人理解：公式6.7 体现了只有所有满足最高C^~i(ti) 的竞拍者才等可能获得该商品，公式6.8体现了支付的价格与竞拍成功率相关）

证明：（公式6.9）

由于Gi是Hi在[0, 1]区间里的凸包，而且Hi是连续的，有Gi(0)=Hi(0), Gi(1)=Hi(1)，因而上式6.9中最后一个表达式的端点值为0。

基于定理3 的公式4.7，结合公式6.9有：

Observe that  p^~  always puts all probability on bidders for whom (c^~_i(ti) - t₀) is nonnegative and maximal. Thus, for any p satisfying (3.3): （公式6.11）

从而p^~ 满足公式3.3 。

对于任何满足公式4.3 的p(即Qi(p, ti) 是ti的递增函数), 有（因为Hi >= Gi）：（公式6.12）

关于p^~ 满足公式4.2的解释： 由于Fi 和gi 都是递增函数，有 c^~_i(ti) 是ti的递增函数。p^~_i(ti) 在给定的t_-i 时是ti的递增函数。因而Qi(p^~, ti) 也是ti的递增函数。记得结果。

凸包(Convex Hull) 函数G有如下性质： G must be flat whenever G < H; 即：如果Gi(r) < Hi(r) 那么 g'i(r)=G''(r)=0. 因而如果Hi(Fi(ti)) - Gi(Fi(ti)) > 0 那么c^~_i(ti) 与Qi(p^~, ti) 是ti的临域里的常量，因而有：（公式6.13）

将公式6.11、6.12、6.13 代入6.10 既得p^~  maximizes (4.7) subject to (4.2) and (3.3).

举例：假设只有一个竞拍者时的最优拍卖为：

and he should keep the object if the bidder is unwilling to pay this price.

Thus, if bidder i were the only bidder, then the seller would sell the object to i if and only if c^~_i(ti)  were greater than or equal to t0. In other words, c^~_i(ti) is the highest level of t0, the seller's personal value estimate, such that the seller would sell the object to i at a price of ti, or lower, if all other bidders were removed.

7. The independence assmoftion. 

本节列举在不满足独立性假设时的一些可行拍卖机制设计举例。

假设有2个拍卖这，出价ti 都在10 or 100，且有 Pr(10, 10) = Pr(100, 100) = 1/3, Pr(10, 100) = Pr(100, 10) = 1/6. 此时各拍卖者报价不满足条件独立的假设。

有平台方seller 的拍卖机制为：

p(100, 100) = (1/2, 1/2) = p(10, 10) 

p(10, 100) = (0, 1), p(100, 10) = (1, 0)

x(100, 100) = (50, 50), x(10, 10) = (-10, -10)  #  说明：此处的收益为平台方对竞拍者收的收益；报价都为10时seller两个竞拍者各补偿10个货币。

x(10, 100) = (30, 100), x(100, 10) = (100, 30) # 此时seller将商品出售给报价最高的竞拍者，并收报低价的拍卖者30个货币。竞拍者报价10个货币时与seller 有一种单边赌约 side-bit 的性质，此时另一个竞拍者有1/3的概率报100（竞拍者的收益为-10）而2/3的概率报10（竞拍者的收益为10），故对真实报价为10的竞拍者的期望收益为 0；如果其采取欺骗报价报为10(对应真实价值为100)，则其期望收益为 (-30)*2/3+10*1/3<0，故真实报价满足纳什均衡。

平台方的期望收益为： U0(p, x) = 100*1/3 + 130*1/6 + 130*1/6 + (-20)*1/3 = 70。

该拍卖机制可行的原因：1 seller将商品出售给报价最高的竞拍者。2 保证激励相容，竞拍者真实报价是一种纳什均衡。具体机制满足竞拍者出真实报价时的期望收益为0，出欺骗报价时的期望收益为负的。注意前提为竞拍者对风险中立 (risk-neutrality) 的前提下。

注意该机制下两个竞拍者同时报低价10 时一种第二均衡 second equilibrium。

（对竞拍者对风险厌恶 risk-averse  时，最优拍卖不一定如此极端[有效?]）

注意该例子中，拍卖方有是会向竞拍者支付货币。如果不这样，则拍卖就不能达到最优状态。

8. Implementation. 

关于最优拍卖实现的讨论：一旦fi 和 ei 的函数确定后，实施本文中的最优化拍卖需要做的是计算C^~i 以及evalute 公式6.8。

考虑一下敏感性分析(sensitivity analysis), 公式6.8 保证对于的拍卖机制是可行的，由于密度函数fi 没有在公式6.8中，所以该机制即使在竞拍者看来概率密度函数不恰当的情况，仍然满足个体例行约束、激励相容约束。同时由于修正效应函数ei 在公式6.8中，所以如果在上设计ei函数时有错误，可能会激励竞拍者不诚实报价。

由于拍卖机制设计本身处在充满不确定性的市场环境中，不可能保证平台方的商品价值在如何的市场环境下都能实现。

Reference：

VCG 二价拍卖模式时，讲真话是最优策略，所有的投标人都会显示他对拍卖物的真实评价。因为中标者没有价格影响力。最有名的衍生是eBay的竞价代理(Proxy bidding)拍卖，除了不是密封式拍卖。

一些缺点：1，未中标者结盟。2，不能避免一个投标人用多个身份投标的行为；3，难以避免买方串谋互相调低价格。4 卖方雇佣托儿抬价。5，不一定最大化卖方利润。