数据库 - 关系代数与关系运算

概述
传统的集合运算 （并，差，交，笛卡尔积）
专门的关系运算

并（Union）

R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域

R∪S 
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
             R∪S = { t|t  R∨t S }

差（Difference）

R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R - S 
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
                R -S = { t|tR∧tS }

交（Intersection）

R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
                    R∩S = { t|t  R∧t S }
              R∩S = R –(R-S）

笛卡尔积（Cartesian Product）

R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S 
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }

专门的关系运算

先引入几个记号

（1） R，tR，t[Ai]
         设关系模式为R(A1，A2，…，An)
         它的一个关系设为R
          tR表示t是R的一个元组
          t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 

（2） A，t[A]， A
   若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
   t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
   A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。 

（3） tr ts
    R为n目关系，S为m目关系。
    tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。
    tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。 

（4）象集Zx
  给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
  当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
               Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
    它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合 

连接

1）连接也称为θ连接
2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
     R         S = {          | tr  R∧ts S∧tr[A]θts[B] }

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符 
    连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组 

3）两类常用连接运算
等值连接（equijoin） 
什么是等值连接
θ为“＝”的连接运算称为等值连接 
等值连接的含义
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
        R    S = {          | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }  

自然连接（Natural join） 
自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组（同名同域:必须具有相同的属性名，并且出自相同的域集）
在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
    R和S具有相同的属性组B
        R   S = {         | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }  
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
        自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。 

外连接
在做自然连接时，如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（OUTER JOIN）。
左外连接
在做自然连接时，如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
右外连接
在做自然连接时，如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。 

除（Division）

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
       R÷S = {tr [X] | tr  R∧πY (S)  Yx }
       Yx：x在R中的象集，x = tr[X]

在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
    a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
    a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
    a3的象集为 {(b4，c6)}
    a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
           {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
     所以     R÷S ={a1}