你以为二分查找很简单，但一不小心就死循环了！带你彻底走出二分的死循环
文章目录
- 1. 二分查找思想
- 二分查找算法简介
- 2. 二分查找详解
- while循环的条件
- 停止搜索的临界条件
- 中间值mid
- 二分的区间划分
- 算法的缺陷
- 3. 代码模板
- 基础二分查找
- 减治思想
- 4. 寻找左侧边界的二分搜索
- 5. 寻找右侧边界的二分查找
- 6. 模板总结
1. 二分查找思想
猜数字的游戏大家都玩过吧？我说一个0~100之间的数字，你来猜。猜对了，也没有奖励。
那你会怎么猜？从0~100逐个猜？显然这样是不行的。我们都会先说50，大了再猜25，小了再猜75，然后再折半的缩小区间，最终猜出数字。
上面的这种思想，就是二分查找的思想。我们归纳出他的要点：
-
待查找的数是有序的
-
每次折半来缩小区间查找
比如我们在已知的有序序列中查找数字7，那么经过以下折半，则三次即可查找完成。
二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <
你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，基本就是一看就会，一写就废；感觉良好，bug难找！有没有 bug 只能靠菩萨保佑。
二分查找算法简介
图片内容来自liweiwei1419
2. 二分查找详解
~~ 【声明】：这里并非只有减治才能用
<，常规的写法也可以用<。这两种边界两种不同的写法均可使用，只是边界条件不同而已
这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) { //注意
int mid = (left + right) >>> 1;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
JDK8源码的二分查找：
while循环的条件
1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
文中所有的算法都是基于前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
2、 <=，和 < 结束的临界值是什么
<=：right == left - 1
<=：right == left
停止搜索的临界条件
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧，这个集合为空集。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
//...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
中间值mid
关于取中间数 int mid = (left + right) / 2; 在 left + right 很大的时候会发生整形溢出，一般这样改写：
int mid = left + (right - left) / 2;
这两种写法事实上没有太大的区别，在 left 和 right 都表示数组下标的时候，几乎不会越界，因为绝大多数情况下不会开那么长的数组。
在 Java 中还可以这样写
int mid = (left + right) >>> 1;
表示无符号右移，它表示在 left + right 发生整型溢出的时候，高位补 0，结果依然正确。这一点是从 JDK 的源码中 Arrays.binarySearch() 方法借鉴来的。
在 Python 中不用这样改写，Python 在 left + right 发生整型溢出的时候会自动转成长整形。
这里不建议把 / 2 改写成 >> 1，理由是高级语言在编译期间会做优化，会将 / 2，以及除以2 的方幂的操作，在内部修改为 >>，只需要写程序本来的逻辑就好了。
如果使用位运算，在 C++ 中可能还需要注意运算优先级的问题。
为什么取二分之一？三分之一、五分之四可不可以？
结合二分查找的思路并不难理解，其实只要在数组中间任意找一个位置的元素，如果恰好是目标元素，则直接返回。如果不是根据这个元素的值和目标元素的大小关系，进而在当前位置的左侧还是右侧继续查找。
还有一个细节，/ 2 表示的是下取整，当数组中的元素个数为偶数的时候，int mid = left + (right - left) / 2; 只能取到位于左边的那个元素。
取右边中间数的表达式是（其实就是在括号里 + 1，表示上取整）：
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
二分的区间划分
为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加1减1，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？
当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
left = mid + 1，right = mid - 1我们是将区间划分成了三个部分
left = mid或者right = mid我们划分了两个区间
算法的缺陷
此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找算法的拓展。
3. 代码模板
基础二分查找
基础二分排序 [left <= right]
-
范围在
[left, right]闭区间中，left = 0、right = arr.length - 1； -
注意循环条件为
left <= right
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (target == nums[mid]) {
return mid;
} else if (target > nums[mid]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return -1;
}
这个思路把待搜索区间 [left, right] 分为 3 个部分：
mid位置（只有 1 个元素）；[left, mid - 1]里的所有元素；[mid + 1, right]里的所有元素；
循环可以继续的条件是 while (left <= right)，特别地，当 left == right 即当待搜索区间里只有一个元素的时候，查找也必须进行下去；
减治思想
【中位数向下取整】
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while (left < right) {
// 选择中位数时下取整
int mid = (left + right) >>> 1;
// check(mid)
if(target > nums[mid]) {
// 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
left = mid + 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid]
right = mid;
}
}
// 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到 (left = right指向的元素)
// 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
return nums[left] == target ? left : -1;
}
【中位数向上取整】
public int search(int[] nums, int target) {
while (left < right) {
// 选择中位数时上取整
int mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (check(mid)) {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid - 1]
right = mid - 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [mid, right]
left = mid;
}
}
// 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到。
// 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
}
上取整还是下取整？
只有看到分支是 left=mid 与 right=mid-1，才需要将中间数上取整
二分查找算法是典型的「减治思想」的应用，我们使用二分查找将待搜索的区间逐渐缩小，以达到「缩减问题规模」的目的；
这个版本的模板推荐使用的原因是：需要考虑的细节最少，编码时不容易出错。二分得处处考虑周到，不然就是死循环❌！
减治思想写二分查找问题，图片来自weiwei大佬的视频讲解
图片及视频内容来自liweiwei1419，减治思想写二分查找问题
理解模板代码的要点：
- 核心思想：虽然模板有两个，但是核心思想只有一个，那就是：把待搜索的目标元素放在最后判断，每一次循环排除掉不存在目标元素的区间，目的依然是确定下一轮搜索的区间；
- 特征：
while (left < right)，这里使用严格小于<表示的临界条件是：当区间里的元素只有 2 个时，依然可以执行循环体。换句话说，退出循环的时候一定有left == right成立，这一点在定位元素下标的时候极其有用； - 在循环体中，先考虑
nums[mid]在满足什么条件下不是目标元素，进而考虑两个区间[left, mid - 1]以及[mid + 1, right]里元素的性质，目的依然是确定下一轮搜索的区间； - 注意 1：先考虑什么时候不是解，是一个经验，在绝大多数情况下不易出错，重点还是确定下一轮搜索的区间，由于这一步不容易出错，它的反面（也就是
else语句的部分），就不用去考虑对应的区间是什么，直接从上一个分支的反面区间得到，进而确定边界如何设置； - 根据边界情况，看取中间数的时候是否需要上取整；
- 注意 2： 这一步也依然是根据经验，建议先不要记住结论，在使用这个思想解决问题的过程中，去思考可能产生死循环的原因，进而理解什么时候需要在括号里加 1 ，什么时候不需要；
- 在退出循环以后，根据情况看是否需要对下标为
left或者right的元素进行单独判断，这一步叫「后处理」。在有些问题中，排除掉所有不符合要求的元素以后，剩下的那 1 个元素就一定是目标元素。如果根据问题的场景，目标元素一定在搜索区间里，那么退出循环以后，可以直接返回left（或者right）。
【注意事项】：
- 先写分支，再决定中间数是否上取整；
- 在使用多了以后，就很容易记住，只要看到
left = mid，它对应的取中位数的取法一定是int mid = left + (right - left + 1) / 2;。
4. 寻找左侧边界的二分搜索
以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
//因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
int right = nums.length;
//其他代码
while (left < right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (target > nums[mid]) {
// 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
left = mid + 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid)
right = mid;
}
}
return nums[left] == target ? left : -1;
}
1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?
答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。
2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
-
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7]，target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
-
再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们在循环结束后添加判断就能在正确的时候 return -1：
while (left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
答：这个就是减治的思想，先排除不存在的区间。因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid分割成两个区间，即 [left, mid)或 [mid + 1, right)
4、为什么该算法能够搜索左侧边界？
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
}
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
5、为什么返回 left 而不是 right？
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。
6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。
答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素。下面我们严格根据逻辑来修改：
因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：
int left_bound(int[] nums, int target) {
// 搜索区间为 [left, right]
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
// if else ...
}
因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：
if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
return -1;
}
return left;
至此，整个算法就写完了，完整代码如下：
public int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
// 搜索区间为 [left, right]
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 检查出界情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。
5. 寻找右侧边界的二分查找
类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：
public int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
1、为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里：
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
}
这样想: mid = left - 1
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。
答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
// 这里改成收缩左侧边界即可
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
}
}
// 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界。
6. 模板总结
对于寻找某一元素是否存在的二分搜索，常见的手法是使用左闭右闭「left, right」，right = [数组长度 - 1]
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while (left < right) {
// 选择中位数时下取整
int mid = (left + right) >>> 1;
// check(mid)
if(target > nums[mid]) {
// 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
left = mid + 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid]
right = mid;
}
}
// 退出循环的时候，程序只剩下一个元素没有看到 (left = right指向的元素)
// 视情况，是否需要单独判断 left（或者 right）这个下标的元素是否符合题意
return nums[left] == target ? left : -1;
}
对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开「left, right），right = [数组长度]
【搜所左边界】
public int binarySearch_left(int[] nums, int target) {
int left = 0;
//因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
int right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (target > nums[mid]) {
// 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
left = mid + 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid)
right = mid;
}
}
return nums[left] == target ? left : -1;
}
【搜所右边界】
public static int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
//因为要搜索左右侧边界，所以索引最大位置必须大于数组长度，搜索的区间为[left, right)
int right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (target == nums[mid]) {
left = mid + 1;
} else if (target > nums[mid]) {
// 下一轮搜索区间是 [mid + 1, right]
left = mid + 1;
} else {
// 下一轮搜索区间是 [left, mid)
right = mid;
}
}
return nums[left-1] == target ? left-1 : -1;
}
left <= right
我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：
public int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return -1;
}
public int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
public int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
【参考链接】
- 用减治思想写二分查找问题、几种模板写法的介绍与比较
- 二分查找算法
- 二分查找详解