【教程】连通分量、强连通分量以及双连通分量

_{连通分量、双连通分量是无向图相关
强连通分量是有向图相关}

关于连通分量

连通分量的定义

无向图中的一个点集，点集中的任意一对点都可以互相到达，且点集外的点与点集中任意一点都不能互相到达。
举个栗例子
这个无向图中存在一个连通分量（显然任意两点均可到达）

而这个无向图中存在两个连通分量（显然左边三个点可以互相到达，右边三个点可以互相到达，但左边的点无法到达右边的点）

怎么找连通分量？

显然，对于一个连通分量，我们可以从它的任何一点开始深搜，每搜到一个点就打一个标记，那么深搜结束的时候必然这个连通分量所有点都被打上了标记。
所以对于一个无向图，我们只需要枚举每个点，看这个点是否被访问过，若没有则从这个点开始深搜，并给过程中经过的所有点打上访问标记。每个点都被访问过后就说明所有的连通分量都被找到了。由于每个点只会被访问一次，所以时间复杂度是$O(N)$的。

关于强连通分量

强连通分量的定义

有向图中的一个点集，点集中的任意一对点都可以互相到达，且点集外的点与点集中任意一点都不能互相到达。（由于是有向图，A可以到达B但B不能到达A也属于【不能互相到达】的情况）

怎么找强连通分量？

tarjan算法
依然是深搜。
设立两个辅助数组$dfn[]$（记录该结点在dfs中是第几个被访问的）$low[]$记录该结点能够到达的结点中最小的$dfn[]$值。

• 当第一次访问u时，把$u$入栈，$low[u]$=$dfn[u]$
• 枚举$u$的每条边(u,v),
• (1)如果$v$没有被访问过，访问$v$，回溯后,$low[u]=min(low[u],low[v])$.
• (2)如果$v$已经访问过了，说明$v$是$u$的在搜索树中的祖先，此时$low[v]$还没有更新，所以low[u]=min(low[u],dfn[v])
• 如果low[u]==dfn[u]，说明当前u的子树是一个强连通分量，无法访问到u以上点，那么进行退栈操作，直到u退出栈。

双连通分量（待补）