导弹拦截（最长单调子序列二分优化）（Dilworth偏序对定理）

如何用O(nlogn)的的速度求解最长上升（下降）子序列

打导弹解题有感

求一个序列的最长上升子序列，可以用贪心的思想来做。

例：389 207 155 300 299 170 158 65

要求它的最长递减子序列，具体步骤如下：

389

389 207

389 207 155

389 300 155     //207被300替换了，207是三个数中刚好小于300的数，207能接的后序列，300照样能接，而且有更大的空间可以接

389 300 299     //此次用299替换155，一样是因为有更大的空间可用，在这里就体现了用300来替换207的正确性

389 300 299 170

389 300 299 170 158

389 300 299 170 158 65

这样就得到了一个最长递减子序列，而且更有可能接更多的数

由于在这个贪心的过程中，辅助数组是有序的，就可以用二分查找来优化，最终将时间优化到O(nlogn)

对于打导弹这道题，求最少的导弹拦截系统的个数，实践最终证明，他等价于求最长上升子序列，类似于对偶优化问题，看它的贪心过程就可知道，它是如何等价于求最长上升子序列的，过程如下：

389

207

155

155 300

155 299

155 170

155 158

56 158    // 找到刚大于56的，然后替换掉，是最优的选择

#include
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using namespace std;

int dpl[300000],dpu[300000];
int li = 0,ui=0;

int fun1(int x)
{
	int m;
	int l = 0; int r = li;
	for (;l= x)//非递增子序列
		{
			l = m + 1;
		}
		else
		{
			r = m;
		}
	}
	return l;
}
int fun2(int x)
{
	int m;
	int l = 0; int r = ui;
	for (;l

在Partially order set(偏序集)有一个非常NX的定理叫DilworthTheorem。上图是偏序集的一个Hasse diagram，偏序集的定义是

偏序是在集合X上的二元关系≤，它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:
自反性：a≤a;
反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;
传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。

带有偏序关系的集合称为偏序集。
令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。
在X中，对于元素a，如果任意元素b，由b≤a得出b=a，则称a为极小元。

一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。
一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。

下面是两个重要定理：
定理1令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。
其对偶定理称为Dilworth定理：
定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

搞清楚了反链和链的定义，就能够很好的从HasseDiagram中得到理解。链就是从纵向的角度看 Hasse Diagram ,反链是从横向的角度看HasseDiagram。

定理一，就是至少有r行构成反链关系。

定理二，就是至少有m列构成链关系。

  我们来考虑一个导弹拦截问题，就是求一个序列的最长不上升子序列，以及求能最少划分成几组不上升子序列。很显然第一个是动态规划，动态规划的过程就是求HasseDiagram的过程！！！

  第二问就是求最少能够划分成几个链，根据定理2，很显然就是反链的最大长度。反链就是一个上升子序列。即求一个严格上升子序列的最大长度。

  注意一个问题是，在获得偏序集有几个主链的时候，需要对数据集先进行排序，然后从头开始，沿着主链顺序DFS。由于导弹拦截的问题，天然有序，形成了严格上升自序列，所以没有凸显这个问题！