生成函数/母函数--排列组合的多项式写法

母函数理解（强烈建议）

母函数代码

 

一.分类

 

 

普通型母函数	(1+ax)^n多项式展开	组合问题
指数型母函数	展开式，分母比上面多个n!	排列问题

                       

二.形式理解：

①每个括号代表一种物品的取法

 

②*可以类比逻辑与，+代表逻辑或

因此(1+x)(1+x^2)可以理解为，从1个质量为1g和1个质量2g中取的所有情况

=(x^0+x)(x^0+x^2)   x^0=1，所以1可以看作取0个，即不取的情况。

 

③指数代表权值（比如质量）

当然指数和个数也有关系，比如，取2个1g和取1个2g，他们母函数指数一样，都是2。

（指数型母函数，分母阶乘和指数一样，比如 分母一定是2!）

 

④展开式系数代表方案数

比1g,2g,3g的球中各取一个，母函数写为(1+)(1+)(1+)

最后展开后  系数代表方案数   

代表最大能凑出6g，而凑出质量为3g有2种方案

 

三.进一步实现及代码

 

以每种物品总数划分，有限和无限两种题型：

Ⅰ.多项式展开后最大指数n<1e9（用数组能存下），用多项式乘法直接找；

比如给定2个1g，3个2g，组成6g有几种？

比如总共n个，无限个1g和2g，多少种情况？（隐含最大质量为2*n g）

 

Ⅱ.n过大，需要用数学方法化成公式。

比如总共n个，其中从1g和2g中取，有几种方法？

 

3.n过大还需要用到FFT，bzoj3771 待更

 

之后题目会讲。

hdu1521，2082 1709  1398

hdu2065  poj3734

hdu 1085 1028  1171 2069 2152