关于秘密共享方案的实例（shamir）

网上有些博主可能发布过相关的文章，我之前也动手算过一次，怎么算都算不对。后来发现mod p这个运算的除法运算比较独特。

首先介绍一个小费马定理：

引申为：

那么有：

接下来步入正题：shamir（t, n）门限秘密共享方案

秘密分发阶段:

首先构造多项式：

其中S为我们的秘密。p是一个大素数，且S

秘密重构阶段：
使用拉格朗日插值公式：

F(0) = S。

接下来拿一个实例来说明一下：

假设我们有w=4个人，设定至少t=3人才能恢复秘密。
秘密S=2，p=23
构造

取x1=1,x2=2,x3=3,x4=4
带入得y1=7,y2=16, y3=6,y4=0
利用3组进行恢复(1,7) (3,6) (4,0)

其中的除法，使用上述的小费马定理。

很多读者可能发现这个不使用小费马定理也可以解出来正确的结果。大家可以使用其他比较简单的多项式构造尝试一下，会发现，先算出来所有结果，最后取模，得不到原来的秘密。如果使用小费马定理的话，可以计算出来原来的结果。