递推典型算法:猴子爬山,跳台阶,爬楼梯(牛客网)、魔法深渊(快手)----Python、Java

递推算法的基本思想是把一个复杂的、庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复,其首要问题是得到相邻的数据项之间的关系,即递推关系。以猴子爬山为例。

1.问题的提出

一个顽猴在一座有30级太假的小山上爬山活跃,猴子上一步可跳1级或者3级,试求上山的30级台阶有多少种不同的爬法

2.简单递推设计

这一问题实际上是一个整数有序可重复拆分的问题。试应用数组递推求解,设爬k级台阶的不同爬法为f(k)种。

  • 探求f(k)的递推关系

    上山最后一步到达第30级台阶,完成上山,共有f(30)种不同的爬法,到第30级之前位于哪一级呢?无非就是位于第29级(上跳1级即可到),有f(29)种;或者位于第27级(上跳3级即可到),有f(27)种;于是f(30)=f(29)+f(27)

     依次类推,有以下递推关系:

           f(k) = f(k-1)+f(k-3)            (k>3)

  • 确定初始条件

    f(1) = 1

    f(2) = 1

    f(3) = 2

3.递推描述

n = int(input())      #总共需要到达的台阶数
result = []
if(n==1):
    print(1)
elif(n==2):
    print(1)
elif(n=3):
    print(2)
else:
    result.append(0)
    result.append(1)
    result.append(1)
    result.append(2)
    for i in range(4,n+1):
        result.append(result[i-1]+result[i-3])
    print(result.pop())

以上是一般爬楼梯的形式,也有很多以上面这种改编的题目,比如今天刷到的快手的校招题--魔法深渊: 已知深渊有N层台阶构成(1 <= N <= 1000),并且每次月神仅可往上爬2的整数次幂个台阶(1、2、4、....),请你编程告诉月神,月神有多少种方法爬出深渊。链接:https://www.nowcoder.com/practice/55e34723b1d34c42af83b39de2395408tpId=98&tqId=32842&tPage=1&rp=1&ru=/ta/2019test&qru=/ta/2019test/question-ranking

我们建立递推关系:

f(k) = f(k-2^0)+f(k-2^1)+f(k-2^2)+...+f(k-2^i),其中(k-2^i>0)。感觉和上面基础版的题目是一个套路,以下是Java实现的代码:

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int M = sc.nextInt();
		int[] d = new int[M];
		for(int i=0;i=0) {
					dp[i]+=(dp[j]%(Math.pow(10, 9)+3));				
					k+=1;
					j=(int) (i-Math.pow(2, k));
				}
			}
			return (long) (dp[n]%(Math.pow(10, 9)+3));
		}
	}
}

 

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