FPGA设计--数字的表示形式(代码+波形图)

在数字逻辑系统中，只存在高电平和低电平，因此用其表示数字只有整数形式，并存在3种表示方法，即：原码表示法(符号加绝对值)、反码表示法(符号加反码)和补码表示法(符号加补码)。这三种在FPGA开发中都有着广泛的应用，下面分别讨论。

1、原码表示法

原码表示法是机器数的一种简单的表示法，采用符号位级联绝对值的方法表示数字。其最高位为符号位，用0表示正数，1表示负数；其余部分为绝对数值部分。原码一般用二进制形式表示。

例如，X1 = +1010110，X2 = -1001010，则其原码分别为：01010110和11001010

原码表示数的范围与二进制位数有关。当用8位二进制来表示小数原码时，其表示范围：最大值为0.1111111，其真值约为10进制中的0.99；最小值为1.1111111，其真值约为十进制的-0.99。当用8位二进制来表示整数原码时，其表示范围：最大值为01111111，其真值为十进制的127；最小值为11111111，其真值为十进制的-127。

在原码表示法中，对0有两种表示形式，分别记为+0和-0，以8比特数据为例，其相应的表示为：+0=00000000、-0=10000000。

2、反码表示法

反码可由原码得到。如果数字是正数，则其反码与原码一样；如果数字是负数，则其反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。

例如：X1 = +1010110， X2=-1001010，则其相应的反码为01010110、10110101。

3、补码表示法

补码表示法师实际中应用最广泛的数字表示法，其表示规则如下：若是正数，补码、反码和原码的表示是一样的；若是负数，补码、反码和原码的表示都不一样。

由反码与原码之间的关键，负数的补码等于其反码在最低位加1。

4、各类表示方法小结

原码的优点就是乘除运算方便，不论正负数，乘除运算都一样，并以符号位决定结果的正负号；若做加法则需要判断两数符号是否相同；若作减法，还需要判断两数绝对值的大小，以使大数减小数。

补码的优点是，加法运算方便，不论数的正负都可直接相加，而符号位同样参加运算。

例：给出各类码字表示法的基本加法运算实例，并说明各自特点

（1）首先给出原码的运算示例，其中()d代表十进制数。首先给出一个原码的减法计算实例，完成“1 + （-1）= 0“”的操作。

(1)d + (-1)d = (0)d

如果读者直接利用原码来完成上式运算，会发现用符号位的原码进行在加减运算的时候就会出现问题，将数据以8比特的表示形式为例，

(00000001)原 + （10000001）原 = （10000001）原 = (-2)d

计算结果是不对的，问题在于两点：首先，负数的符号位直接改变了计算结果符号；其次，绝对值部分计算也不正确。这说明原码无法直接完成正数和负数的加法。

（2）既然，原码不能完成正、负数相加，那么反码形式可以完成此操作吗？仍然以”1 + (-1) = 0“ 为例，其相应的反码表达式如下：

(00000000)反 + (11111110)反 = (11111111)反 = (-0)d

则发现问题出现在+0和-0上，因为实际的计算中的零没有正负之分的。但上式标明了反码完成正、负数相加后，其绝对值部分是正确的，因此能正确完成正、负数相加的表达形式必定包含反码的特性。

（3）最后给出补码的相关特性说明，负数的补码就是对反码加1，而正数不变。以8比特数据为例，通过(-128)d代替了(-10)d，所以其表示范围为【-128,127】。从直观上，补码消除了(+0)和(-0)，并且具备反码特点，那么究竟其能完成正、负加法运算吗？答案是肯定的，下面给出具体实例，所示

(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = (0)d

基于以上讨论，可以得到一个基本结论：只有补码才能正确完成正负加法运算，并将减法运算转化为加法运算，从而简化运算规则。

但对于乘法操作，则以原码形式计算是最方便的，下面有实例。

演示1：原码进行乘法运算 -2 * 2 = -4

module mul(
		input clk,
		input rstn,
		input [7:0] a,
		input [7:0] b,
		
		output [14:0] q_mul,
		output reg [8:0] q_add,
		output reg[7:0] ra,
    output reg[7:0] rb
    );
    
    
    reg [13:0] rmul;
    
    always @(posedge clk or negedge rstn)
    		if(!rstn)
    			begin
    				q_add <= 0;
    				ra <= 0;
    				rb <= 0;
    				
    				rmul <= 0;
    			end
    		else begin
    			
    			//q_mul <= a*b;
    			if(a[7]==1)
    				ra = {a[7],~a[6:0] + 1};
    			else
    				ra = a;
    			if(b[7]==1)
    				rb = {b[7],~b[6:0] + 1};
    			else
    				rb = b;
    			rmul <= ra[6:0]*rb[6:0];
    			
    			
    			q_add <= {a[7],a} + {b[7],b};
    		end
    		
    		assign q_mul = {a[7]^b[7],rmul};
    		
endmodule

演示2：通过reg signed实现

module signedMul(
		input clk,
		input rstn,
		input [7:0] a,
		input [7:0] b,
		output [15:0] q
    );
    
     reg signed[7:0] ra;
     reg signed[7:0] rb;
    
    always @(posedge clk or negedge rstn) begin
    		if(~rstn) begin
    			ra <= 0;
    			rb <= 0;
    		end
    		else begin
    			ra <= a;
    			rb <= b;
    		end
    end
		assign q = ra * rb;

endmodule