高斯滤波的C++实现与优化
高斯模板
\quad 首先高斯函数的定义为 h ( x , y ) = e − x 2 + y 2 2 σ 2 h(x, y) = e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} h(x,y)=e−2σ2x2+y2，其中(x,y)是图像中的点的坐标， σ \sigma σ为标准差，高斯模板就是利用这个函数来计算的，我们来看高斯模板，假设大小为(2k+1)*(2k+1)为什么长宽都为奇数，这主要是保证整个模板有唯一中心元素，便于计算。高斯模板中的元素值为: H i , j = 1 2 π σ 2 e − ( i − k − 1 ) 2 + ( j − k − 1 ) 2 2 σ 2 H_{i,j}=\frac{1}{2\pi {\sigma^2}}e^{-\frac{(i-k-1)^2+(j-k-1)^2}{2\sigma^2}} Hi,j=2πσ21e−2σ2(i−k−1)2+(j−k−1)2，然后在实现生成高斯模板时，又有两种形式，即整数和小数，对于小数形式的就是按照公式直接计算，不需要其他处理，而整数形式的需要归一化，将模板左上角的值归一化为1,。使用整数的模板时，需要在模板前面加一个系数，这个系数为 1 ∑ ( i , j ) ∈ w w i , j \frac{1}{\sum_{(i,j)\in w}w_{i,j}} ∑(i,j)∈wwi,j1，就是模板系数和的导数。
生成小数高斯模板代码如下：
#define PI 3.1415926
//生成小数形式的高斯模板
void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){
int center = ksize / 2; //模板的中心位置，也就是坐标原点
double x2, y2;
for(int i = 0; i < ksize; i++){
x2 = pow(i - center, 2);
for(int j = 0; j < ksize; j++){
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2)) / (2 * sigma * sigma);
g /= 2 * PI * sigma;
window[i][j] = g;
}
}
//归一化左上角的数为1
double k = 1 / window[0][0];
for(int i = 0; i < ksize; i++) {
for (int j = 0; j < ksize; j++) {
window[i][j] *= k;
}
}
}
整数部分基本一样，就不说了。对于 k s i z e = 3 ksize=3 ksize=3， σ = 0.8 \sigma=0.8 σ=0.8的高斯模板结果为，
1.00000 2.71828 1.00000
2.71828 7.38906 2.71828
1.00000 2.71828 1.00000
这里想说一下 σ \sigma σ的作用，当 σ \sigma σ比较小的时候，生成的高斯模板中心的系数比较大，而周围的系数比较小，这样对图像的平滑效果不明显。而当 σ \sigma σ比较大时，生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似于均值模板，对图像的平滑效果比较明显。
高斯滤波
1、按照公式暴力高斯滤波
//O(m * n * ksize^2)
void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); //只处理3通道或单通道的图片
double **GaussianTemplate = new double *[ksize];
for(int i = 0; i < ksize; i++){
GaussianTemplate[i] = new double [ksize];
}
generateGaussianTemplate(GaussianTemplate, ksize, sigma);
//padding
int border = ksize / 2;
copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BORDER_CONSTANT);
int channels = dst.channels();
int rows = dst.rows - border;
int cols = dst.cols - border;
for(int i = border; i < rows; i++){
for(int j = border; j< cols; j++){
double sum[3] = {0};
for(int a = -border; a <= border; a++){
for(int b = -border; b <= border; b++){
if(channels == 1){
sum[0] += GaussianTemplate[border+a][border+b] * dst.at(i+a, j+b);
}else if(channels == 3){
Vec3b rgb = dst.at(i+a, j+b);
auto k = GaussianTemplate[border+a][border+b];
sum[0] += k * rgb[0];
sum[1] += k * rgb[1];
sum[2] += k * rgb[2];
}
}
}
for(int k = 0; k < channels; k++){
if(sum[k] < 0) sum[k] = 0;
else if(sum[k] > 255) sum[k] = 255;
}
if(channels == 1){
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
}else if(channels == 3){
Vec3b rgb = {static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2])};
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
for(int i = 0; i < ksize; i++)
delete[] GaussianTemplate[i];
delete[] GaussianTemplate;
}
2、分两步进行高斯滤波，先在水平方向高斯滤波，然后垂直方向高斯滤波，在核的size较大的情况下有很大的优化作用，代码如下
//分离实现高斯滤波
//O(m*n*k)
void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma){
CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); //只处理单通道或者三通道图像
//生成一维的
double *matrix = new double[ksize];
double sum = 0;
int origin = ksize / 2;
for(int i = 0; i < ksize; i++){
double g = exp(-(i-origin) * (i-origin) / (2 * sigma * sigma));
sum += g;
matrix[i] = g;
}
for(int i = 0; i < ksize; i++) matrix[i] /= sum;
int border = ksize / 2;
copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BORDER_CONSTANT);
int channels = dst.channels();
int rows = dst.rows - border;
int cols = dst.cols - border;
//水平方向
for(int i = border; i < rows; i++){
for(int j = border; j < cols; j++){
double sum[3] = {0};
for(int k = -border; k<=border; k++){
if(channels == 1){
sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j+k);
}else if(channels == 3){
Vec3b rgb = dst.at(i, j+k);
sum[0] += matrix[border+k] * rgb[0];
sum[1] += matrix[border+k] * rgb[1];
sum[2] += matrix[border+k] * rgb[2];
}
}
for(int k = 0; k < channels; k++){
if(sum[k] < 0) sum[k] = 0;
else if(sum[k] > 255) sum[k] = 255;
}
if(channels == 1)
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
else if(channels == 3){
Vec3b rgb = {static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2])};
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
//竖直方向
for(int i = border; i < rows; i++){
for(int j = border; j < cols; j++){
double sum[3] = {0};
for(int k = -border; k<=border; k++){
if(channels == 1){
sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i+k, j);
}else if(channels == 3){
Vec3b rgb = dst.at(i+k, j);
sum[0] += matrix[border+k] * rgb[0];
sum[1] += matrix[border+k] * rgb[1];
sum[2] += matrix[border+k] * rgb[2];
}
}
for(int k = 0; k < channels; k++){
if(sum[k] < 0) sum[k] = 0;
else if(sum[k] > 255) sum[k] = 255;
}
if(channels == 1)
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
else if(channels == 3){
Vec3b rgb = {static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2])};
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
delete [] matrix;
}