信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述


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引言

本文是「信用风险建模 in Python」系列的第四篇,其实在之前的 Cufflinks 那篇已经埋下了信用风险的伏笔,

  1. 信用组合可视化

  2. 信用风险 101

  3. 独立模型 - 伯努利模型

  4. 独立模型 - 泊松模型

  5. 混合模型 - 概述

上两贴介绍了独立模型下的二项模型泊松模型,它们最大的缺点是不能够捕捉到借贷人之间的违约相关。信贷交易对手都处在同一经济环境中,它们的成功和偿还债务能力应该会有些相关的。因此,一个好的信用模型一定要考虑违约相关性,接下来介绍的混合模型就可以做到这点。

混合模型的主旨就是将违约概率随机化,从实操上来讲,将违约概率和一个随机变量 Z 挂钩。那么第 n 个借贷人的条件违约概率(conditional probability)为

其中 Z 是连续随机变量,它的 PDF CDF 用 fZ(z) 和 FZ(z) 来表示。

到此可知,设计混合模型由两部分组成

  1. Z 的分布形式

  2. p(Z) 的函数形式

对于 p(Z),不管其具体形式如何,我们可用来表示其期望。

条件独立

在混合模型中,我们把原来违约是独立同分布(independent identically distributed, IID)的假设改成是条件独立同分布的。给定 Z,违约事件是独立的,用数学表达式可写成

接下来我们来推导

信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述_第1张图片

从上面条件期望和条件方差的结果可知,它们都是随机变量,而且可写成条件概率 p(Z) 的函数;从普通期望和方差可知,它们都可写成“条件概率 p(z) 的期望 ”的函数。

违约相关

在独立模型的假设下,借款人之间的违约是独立的,因此违约相关性为零。在混合模型下,违约相关性不再为零。证明如下,

信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述_第2张图片

从上面结果可知,两个借贷人之间的协方差等于条件违约概率的方差。如果每个借贷人的借贷行为只受一个 Z 影响,那么协方差和方差等价。目前所有结果还属于通用结果,具体 Z 的分布和 p(Z) 的形式和模型有关。

违约个数分布

现在我们可以创建组合损失分布并考虑其收敛性质了。对于一个含有 N 个借贷人的信用组合,假设所有借贷人的违约概率和损失暴露都为 p c,其损失变量可写成

其中是整个组合违约的个数。由于每个借贷人的损失暴露都为 c,因此损失分布可以在一组 {0c, 1c, 2c, …, Nc} 离散点上构建,组合最小损失为0,最大损失为 Nc。对于离散的损失值,对应的概率质量函数(probability mass function, PMF)为

对于 k = 0, 1, 2, …, N

由于违约不独立,那么直接计算不容易,这时推导需要用违约条件独立的性质,即互相独立。那么给定 Z是服从二项分布的,我们有

Z 上做积分得到

 

上面积分是否有解析解要看 p(z) 和 fZ(z) 的形式,但即便没有解析解,这个一维数值积分也不会太复杂。接下来推导 的均值和方差。

信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述_第3张图片

收敛性质

在独立模型中分析收敛性质时用到切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality),在混合模型中同样用它来分析。

信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述_第4张图片

从上式可知,当借贷人数 很大时,在不再收敛于 ,而是跟 p(Z) 的方差有关,这个性质和独立模型相比有很大区别。

如果我们将切比雪夫不等式用在,推导可得

信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述_第5张图片

从上式可知,当借贷人数 很大时, 概率收敛于 p(Z)

总而言之,对于大型分散组合,违约比率收敛于 p(Z),因此如何设计 p(Z) Z 非常重要,比如 p(Z) 必须能够违约相关并捕捉分肥尾风险。之后我们会详细分析六类具体的混合模型,它们分别是:

  • Beta-Binomial

  • Logit-Normal

  • Probit-Normal

  • Gamma-Poisson

  • Lognormal-Poisson

  • Weibull-Poisson

 

它们都写成 A-B 通用形式,其中 Z 服从 A 分布,而 p(Z) 服从 B 分布。模型虽多而杂,但混合模型本质就是把玩各种 A 和 B 分布来量化违约相关。

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