球坐标

原帖：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB

球坐标系[编辑]

（重定向自 球坐标系）

用球坐标   来表示一个点的位置

在数学里，球坐标系（英语：Spherical coordinate system）是一种利用球坐标  表示一个点 p 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

右图显示了球坐标的几何意义：原点与点 P 之间的径向距离  ，原点到点 P 的连线与正 z-轴之间的天顶角  ，以及原点到点 P 的连线，在 xy-平面的投影线，与正 x-轴之间的方位角  。

标记[编辑]

在学术界内，关于球坐标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定 （ISO 31-11） ，径向距离、天顶角、方位角，分别标记为  。这种标记在世界各地有许多使用者。通常，物理界的学者也采用这种标记。而在数学界，天顶角与方位角的标记正好相反： 被用来代表天顶角， 被用来代表方位角。数学界的球坐标标记是  。这种标记的优点是较广的相容性；在二维极坐标系与三维圆柱坐标系里， 都同样地代表径向距离， 也都同样地代表方位角。本条目采用的是物理标记约定。

定义[编辑]

球坐标系的几个 坐标曲面。红色圆球面的   。蓝色圆锥面的   。黄色半平面的   （黄色半平面与 xz-半平面之间的 二面角角度是  ）。 z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示）。 直角坐标大约为  。

假设 P 点在三维空间的位置的三个坐标是 。那么， 0 ≤ r 是从原点到 P 点的距离， 0 ≤ θ ≤ π 是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角， 0 ≤ φ < 2π 是从原点到 P 点的连线在 xy-平面的投影线，与正 x-轴的夹角。

这里， 代表天顶角， 代表方位角。 当  时， 与  都一起失去意义。当  或  时， 失去意义。

如想要用球坐标，找出点 P 在空间的地点，可按照以下步骤：

1. 从原点往正 z-轴移动  单位，
2. 用右手定则，大拇指往 y-轴指，x-轴与 z-轴朝其他手指的指向旋转  角值，
3. 用右手定则，大拇指往 z-轴指，x-轴与 y-轴朝其他手指的指向旋转  角值。

坐标系变换[编辑]

三维空间里，有各种各样的坐标系。球坐标系只是其中一种。球坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系[编辑]

更多资料： 直角坐标系

使用以下方程式，可以从球坐标变换为直角坐标：

 、

 、

 。

特别注意，必须依照  所处的象限来计算正确的反正切值。 也可以使用arccos来计算方位角phi的值,这样在x为0的情况下比较方便,x为0时arctan(y/x)无效.

反过来，可以从直角坐标变换为球坐标：

 、

 、

 。

地理坐标系[编辑]

更多资料： 经纬度

地理坐标系是球坐标系的第二个版本。它主要是用在地理学。通常在地理学里， 会被用来表示高度，或者完全不被使用。

纬度的定义域是  ，南纬或北纬。使用以下方程式，可从纬度  变换为天顶角：

1.  ：北纬， ，
2.  ：南纬， 。

经度  的定义域是  。设定经过伦敦格林维治天文台的子午线为经度  ，往东或往西  度。使用以下方程式，可从经度变换为方位角

1.  ：往东， ，
2.  ：往西， 。

圆柱坐标系[编辑]

用圆柱坐标来表示一个点的位置

更多资料： 圆柱坐标系

圆柱坐标系是极坐标系在三维空间往 z-轴的延伸。  坐标用来表示高度。使用以下方程式，可以从球坐标变换为圆柱坐标  ：

 、

 、

 。

反过来，可以从圆柱坐标变换为球坐标：

 、

 、

 。

标度因子[编辑]

球坐标系的标度因子分别为：

 、

 、

 。

无穷小体积元素是

 。

拉普拉斯算子是

 。

其它微分算子，像  、 ，都可以用  坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式[编辑]

假定  是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角

• 线元素是一个从  到  的无穷小位移,表示为公式：

 ；

其中的 是在  的各自的增加的方向上的单位矢量。

• 面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从  到  ，方位角从  到  变化，公式为：

 。

• 面积元素2：固定天顶角  ，其他两个变量变化，则公式为：

 。

• 面积元素3：固定方位角  ，其他两个变量变化，则公式为：

 。

• 体积元素，径向坐标从  到  ，天顶角从到 ，并且方位角从  到  的公式为：

 。

• 梯度公式：

 。

• 散度公式：

 。

• 旋度公式：

 。

• 拉普拉斯算子是

 。

应用[编辑]

地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是１。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。

球坐标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言，一个圆球，其直角坐标方程式为  ，可以简易的用球坐标系  来表示。

当求解三重积分时，如果定义域为圆球，则面积元素是

 ；

体积元素是

 。

用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式, 拉普拉斯方程 与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变量法求得解答。这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。

球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标 (n-sphere) 。