C++实现大整数运算包（加、减、乘、除、幂模、GCD、乘法逆）
1．问题描述
大整数运算是现代密码学算法实现的基础，重要性不言而喻。大整数我们指的是二进制位512、1024和2048的数，一般的语言不支持。
2．基本要求
以类库头文件的形式实现。
3．实现提示
在选择了大整数的存储结构之后，主要实现以下运算：
① 模加；
② 模减；
③ 模乘；
④ 模整除；
⑤ 模取余。这五种运算模拟手算实现。
⑥ 幂模：利用“平方-乘法”算法实现。
⑦ GCD：利用欧几里得算法实现。
⑧ 乘法逆: 利用扩展的欧几里得算法实现。
⑨ 素数判定与生成：概率性素数产生方法产生的数仅仅是伪素数，其缺点在于，尽管其产生合数的可能性很小，但是这种可能性仍然存在:其优点是产生的伪素数没有规律性，而且产生的速度也比较快。此类方法是生成大素数的主要方法，其中较著名的算法有:Miller Rabin算法、Solovay-Strassen算法等。本文讨论Miller Rabin算法。
Miller Rabin素性测试法是在实际中应用非常广的一种素性测试方案，可以用来判定某随机数是否为素数。其定义如下:
设n>2是一个奇数，设n-1=2sm，其中s是非负整数，m>0是奇数，设0
bm≡－1(mod n)，
或者存在一个r,0≤r
b 2^r m≡－1(modn)
则称n通过以b为基的Miller-Rabin测试。
可以利用Miller-Rabin素性测试算法来随机生成大素数，随即生成一个奇数n>2，随即均匀的选取序列b1,b2...,bk∈{1,2,...,n-1}，对n进行k次Miller-Rabin素性测试，如果每次输出都为“n可能是素数”，则n是合数的概率小于 1/4k当k足够大时，1/4k是一个十分小的数。
同学们在具体实现时，为了提高速度最好以空间换时间，在主程序运行前先构造一个大素数表。
代码如下：
#include
#include
#include
#include //reverse函数所需添加的头文件
using namespace std;
/*
大整数类
*/
class BigInt
{
private:
inline int compare(string s1, string s2)
{
if(s1.size() < s2.size())
return -1;
else if(s1.size() > s2.size())
return 1;
else
return s1.compare(s2);
}
public:
bool flag;//true表示正数，false表示负数，0默认为正数
string values;//保存所有位上的数字
BigInt():values("0"),flag(true){};//构造函数
BigInt(string str)//类型转换构造函数(默认为正整数)
{
values = str;
flag = true;
}
public:
friend ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt);//重载输出操作符
friend istream& operator>>(istream& is, BigInt& bigInt);//输入操作符重载
BigInt operator+(const BigInt& rhs);//加法操作重载
BigInt operator-(const BigInt& rhs);//减法操作重载
BigInt operator*(const BigInt& rhs);//乘法操作重载
BigInt operator/(const BigInt& rhs);//除法操作重载
BigInt operator%(const BigInt& rhs);//求余操作重载
};
/*
重载流提取运算符'>>'，输出一个整数
*/
ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt)
{
if (!bigInt.flag)
{
os << '-';
}
os << bigInt.values;
return os;
}
/*
重载流插入运算符'>>'，输入一个正整数
*/
istream& operator >> (istream& is, BigInt& bigInt)
{
string str;
is >> str;
bigInt.values = str;
bigInt.flag = true;
return is;
}
/*
两个正整数相加
*/
BigInt BigInt::operator+(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
ret.flag = true;//正整数相加恒为正数
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//处理特殊情况
if (lvalues == "0")
{
ret.values = rvalues;
return ret;
}
if (rvalues == "0")
{
ret.values = lvalues;
return ret;
}
//调整s1与s2的长度
unsigned int i, lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
if (lsize < rsize)
{
for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左边补零
{
lvalues = "0" + lvalues;
}
}
else
{
for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左边补零
{
rvalues = "0" + rvalues;
}
}
//处理本质情况
int n1, n2;
n2 = 0;
lsize = lvalues.size();
string res = "";
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串，以方便从低位算起计算
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < lsize; i++)
{
n1 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) % 10;//n1代表当前位的值
n2 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) / 10;//n2代表进位
res = res + char(n1 + '0');
}
if (n2 == 1)
{
res = res + "1";
}
reverse(res.begin(), res.end());
ret.values = res;
return ret;
}
/*
两个正整数相减
*/
BigInt BigInt::operator-(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//负数减负数
if(flag==false&&rhs.flag==false)
{
string tmp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = tmp;
}
//负数减正数
if(flag==false&&rhs.flag==true)
{
BigInt res(lvalues);
ret=res+rhs;
ret.flag = false;
return ret;
}
if(flag==true&&rhs.flag==false)
{
BigInt rel(lvalues),res(rhs.values);
ret=rel+res;
ret.flag = true;
return ret;
}
//处理特殊情况
if (rvalues == "0")
{
ret.values = lvalues;
ret.flag = true;
return ret;
}
if (lvalues == "0")
{
ret.values = rvalues;
ret.flag = false;
return ret;
}
//调整s1与s2的长度
unsigned int i, lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
if (lsize < rsize)
{
for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左边补零
{
lvalues = "0" + lvalues;
}
}
else
{
for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左边补零
{
rvalues = "0" + rvalues;
}
}
//调整使‘-’号前边的数大于后边的数
int t = lvalues.compare(rvalues);//相等返回0，str1str2返回正数
if (t < 0)
{
ret.flag = false;
string tmp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = tmp;
}
else if (t == 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
ret.flag = true;
}
//处理本质情况
unsigned int j;
lsize = lvalues.size();
string res = "";
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串，以方便从低位算起计算
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < lsize; i++)
{
if (lvalues[i] < rvalues[i])//不足，向前借一维
{
j = 1;
while(lvalues[i+j] == '0')
{
lvalues[i+j] = '9';
j++;
}
lvalues[i+j] -= 1;
res = res + char(lvalues[i] + ':' - rvalues[i]);
}
else
{
res = res + char(lvalues[i] - rvalues[i] + '0');
}
}
reverse(res.begin(), res.end());
res.erase(0, res.find_first_not_of('0'));//去掉前导零
ret.values = res;
return ret;
}
/*
两个正整数相乘
*/
BigInt BigInt::operator*(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
//处理0或结果正负
if (lvalues == "0" || rvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(flag==false||rhs.flag==false)
{
ret.flag=false;
}
//处理特殊情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
string temp;
BigInt res, itemp;
//让lvalues的长度最长
if (lvalues < rvalues)
{
temp = lvalues;
lvalues = rvalues;
rvalues = temp;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
}
//处理本质情况
int i, j, n1, n2, n3, t;
reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//颠倒字符串
reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
for (i = 0; i < rsize; i++)
{
temp = "";
n1 = n2 = n3 = 0;
for (j = 0; j < i; j++)
{
temp = temp + "0";
}
n3 = rvalues[i] - '0';
for (j = 0; j < lsize; j++)
{
t = (n3*(lvalues[j] - '0') + n2);
n1 = t % 10;//n1记录当前位置的值
n2 = t / 10;//n2记录进位的值
temp = temp + char(n1 + '0');
}
if (n2)
{
temp = temp + char(n2 + '0');
}
reverse(temp.begin(), temp.end());
itemp.values = temp;
res = res + itemp;
}
ret.values = res.values;
return ret;
}
/*
两个正整数相除
*/
BigInt BigInt::operator/(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret;
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
string quotient;
string temp;
//处理特殊情况
if(rvalues == "0")
{
ret.values = "error";//输出错误
ret.flag = true;
return ret;
}
if(lvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
{
ret.values = "1";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
//处理本质情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
int i;
if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
{
temp = temp + lvalues[i];
//试商
for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
{
BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
BigInt s = (BigInt)temp - t;
if(s.flag == true)
{
temp = s.values;
quotient = quotient + c;
break;
}
}
}
}
//去除前导零
quotient.erase(0, quotient.find_first_not_of('0'));
ret.values = quotient;
ret.flag = true;
return ret;
}
/*
两个正整数取余
*/
BigInt BigInt::operator%(const BigInt& rhs)
{
BigInt ret,kj(values),ki(rhs.values);
string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
string quotient;
string temp;
//处理特殊情况
if(rvalues == "0")
{
ret.values = "error";//输出错误
ret.flag = true;
return ret;
}
if(lvalues == "0")
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
{
if(flag==false)
{
ret.values=(ki-kj).values;
ret.flag = true;
return ret;
}else{
ret.values = lvalues;
ret.flag = true;
return ret;
}
}
else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
{
ret.values = "0";
ret.flag = true;
return ret;
}
else
{
//处理本质情况
unsigned int lsize, rsize;
lsize = lvalues.size();
rsize = rvalues.size();
int i;
if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
{
if(temp=="0"){
temp=lvalues[i];
}else{
temp = temp + lvalues[i];
}
//试商
for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
{
BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
BigInt s = (BigInt)temp - t;
if(s.flag == true)
{
//cout<> op;
switch(op)
{
case '1':
cout<<"请输入a、b和n的值：";
cin>>a>>b>>n;
cout<>a>>b>>n;
cout<>a>>b>>n;
cout<>a>>b>>n;
cout<>a>>b>>n;
cout<>a>>b>>n;
cout<>a>>b;
cout<>a>>n;
cout< Miller-Rabin大素数检测算法请看我的这篇文章 https://blog.csdn.net/qq_34490018/article/details/79844036