浅谈整除分块

浅谈整除分块

前言

我们在学习整除分块之前，首先你得整除分块就是是个什么，它跟分块（区间操作）相似但是不同（我学的时候有点小懵一直以为是分块然后额）。
我是在学习莫比乌斯反演的时候看到要先学前置知识整除分块，于是去学习。（整除分块比狄利克雷卷积简单多了，虽然我到现在还是不会狄利克雷卷积和莫比乌斯反演。）

例题

洛谷
余数求和
给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

推导题意可得
${\sum }_{i=1}^{n}k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i$
首先数据之大让你没有办法去暴力，所以它的难度是提高+省选-，那么再次推导，可得式子为
$={\sum }_{i=1}^{n}k-i\ast (k/i)$
$=n\ast k-{\sum }_{i=1}^{n}i\ast (k/i)$
到此为止，就是整除分块的模板了，即求${\sum }_{i=1}^{n}i\ast (k/i)$，当然$k/i$向下取整

到此，离开本题去讲整除分块的模板

整除分块

${\sum }_{i=1}^{n}n/i$
以下为模板

#include
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
     {
        r=n/(n/l);
        ans+=(r-l+1)*(n/l);
        cout<<l<<' '<<r<<' '<<ans<<endl;
     }
  printf("%lld",ans);
}

当然给模板是为了不用手动打样例
我们通过模板可以得出

这组数据是怎么的出来了的呢？

推导过程

当$n=10$时，我们手动求${\sum }_{i=1}^{n}n/i$

可知答案是27，与上面相同，那么这是为什么？
整除分块，是把$n$除以每一个$i$的商相同的分成一块
由10的样例可知
重复的商相同的部分，我们可以在O(1)的时间内求出来
枚举$(l,r)$
$(l,r)$区间即对于该区间任何一个数来说，$n$ \ $i=n$ \ $l$

我们从1开始枚举$l$，
$r=n/(n/l)$
然后$l=r+1$
这样可以把该序列整除分块了
然后整除分块的时间即从O($r-l+1$)缩减到了O(1)

回到例题

我们在把$=n\ast k-{\sum }_{i=1}^{n}i\ast (k/i)$推导一下
可以得到对于每个区间$(l,r)$来说，公式为$(k/l)\ast (r-l+1)\ast (l+r)/2$（自己推一推，很快滴）
即可得到答案

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        if(k/l!=0) r=min(k/(k/l),n); 
        else r=n;
        ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}