基础数论——算数基本定理、欧几里得算法、丢番图方程
整除
【定义】 对于 a , b ∈ Z a,b \in Z a,b∈Z，如果有 q ∈ Z q \in Z q∈Z使得 a q = b aq=b aq=b，则称 a a a整除 b b b，记为 a ∣ b a|b a∣b.
关于整除有如下结论：
- 若 c = k 1 a + k 2 b c=k_1a+k_2b c=k1a+k2b， e ∣ a e|a e∣a，且 e ∣ b e|b e∣b，则 e ∣ c e|c e∣c.
最大公因子
【定义】 所有同时整除 a a a和 b b b的整数中，最大的那个，称为 a a a和 b b b的最大公因子，记为
( a , b ) (a,b) (a,b)，也可记为 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b).
【引理】 设 a = b q + c a=bq+c a=bq+c，这里 a , b , c , q ∈ Z a,b,c,q\in Z a,b,c,q∈Z，则 ( a , b ) = ( b , c ) (a,b)=(b,c) (a,b)=(b,c).
证明：由于 a = b q + c a=bq+c a=bq+c，所有 b b b和 c c c的公因子同时整除 b b b和 c c c ，所以也能整除 a a a，所以也是 a a a和 b b b的公因子。由于 c = a − b q c=a-bq c=a−bq，所有 a a a和 b b b的公因子同时整除 a a a和 b b b ，所以也能整除 c c c，所以也是 b b b和 c c c的公因子。也就是说， a a a和 b b b的公因子， b b b和 c c c的公因子是同一拨，那么 a a a和 b b b的公因子中最大的那个， b b b和 c c c的公因子中最大的那个
当然是同一个了。
所以 ( a , b ) = ( b , c ) (a,b)=(b,c) (a,b)=(b,c) 。
欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数 a a a和 b b b的最大公因子。证明过程主要依据上面的引理 ( a , b ) = ( b , c ) (a,b)=(b,c) (a,b)=(b,c)。
代码实现如下：
#include
#include
/*
欧几里德算法：辗转求余
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时，两数的最大公约数即为a
*/
int gcd(int a, int b){
if (a < b){
std::swap(a, b);
}
if (0 == b){
return a;
}else{
return gcd(b, a % b);
}
}
// 简单测试
int main() {
int t = gcd(10,25);
std::cout< 扩展欧几里得算法
【定义】 对于 a 1 , ⋯ , a n ∈ Z a_1,\cdots,a_n\in Z a1,⋯,an∈Z，我们称 a 1 x 1 + ⋯ + a n x n ( x 1 , ⋯ , x n ∈ Z ) a_1x_1+ \cdots + a_nx_n(x_1,\cdots,x_n\in Z) a1x1+⋯+anxn(x1,⋯,xn∈Z)为 a 1 , ⋯ , a n a_1,\cdots,a_n a1,⋯,an的整系数线性组合，并用 a 1 Z + ⋯ + a n Z a_1Z+\cdots+a_nZ a1Z+⋯+anZ表示它们构成的集合。
【扩展欧几里得算法】 设 a a a和 b b b是两个正整数（至少有一个非零）， d = g c d ( a , b ) d=gcd(a,b) d=gcd(a,b)，则存在整数 x x x和 y y y使得 a x + b y = d ax+by=d ax+by=d成立，如果 a a a和 b b b都是素数，那么存在整数 x x x和 y y y使得 a x + b y = 1 ax+by=1 ax+by=1成立。
代码实现：
def egcd(a,b):
if 0 == b:
return a,1,0
gcd,k1,k2 = egcd(b, a%b)
return gcd,k2,k1-a/b*k2
互素
最大公因子的最小可能取值是 1 1 1，当 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，即 a a a和 b b b的最大公因子为 1 1 1时，我们称 a a a和 b b b互素。
乘法逆元
当 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1时，有时候我们很希望求得一个数 k k k， 0 ≤ k < b 0\leq k \lt b 0≤k<b，使 k a m o d b = 1 ka\ mod\ b=1 ka mod b=1 ，这样的数我们称为 a a a的乘法逆元，
这看起来就像是在 0 0 0到 b − 1 b-1 b−1这些整数中找到 a a a的倒数一样。那怎么找到这样的数呢？
扩展欧几里得算法可以帮我们解决这个问题。
由于 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，根据扩展欧几里得算法，可求得两个系数 k 1 k_1 k1和 k 2 k_2 k2，使得 k 1 a + k 2 b = ( a , b ) = 1 k_1a+k_2b=(a,b)=1 k1a+k2b=(a,b)=1，所以有 k 1 a = − k 2 b + 1 k_1a=-k_2b+1 k1a=−k2b+1，所以 k 1 a m o d b = 1 k_1a\ mod\ b=1 k1a mod b=1 ，所以 ( k 1 m o d b ) a m o d b = 1 (k_1\ mod\ b)a\ mod\ b=1 (k1 mod b)a mod b=1，而 0 ≤ ( k 1 m o d b ) < b 0\leq(k_1\ mod\ b)\lt b 0≤(k1 mod b)<b，所以 ( k 1 m o d b ) (k_1\ mod\ b) (k1 mod b)就是我们想要的那个乘法逆元。
算数基本定理
【算数基本定理（整数的唯一分解定理）】任何大于 1 1 1的整数 n n n可表示成有限个（可重复）素数的乘积，而且不计乘积中因子顺序时分解还是唯一的。
根据算数基本定理，大于 1 1 1的整数 n n n唯一地表示成 p 1 a 1 ⋅ ⋯ ⋅ p r a r p_1^{a_1}\cdot \cdots \cdot p_r^{a_r} p1a1⋅⋯⋅prar的形式，这里 p 1 < ⋯ < p r p_1<\cdots<p_r p1<⋯<pr为不同素数， a 1 , ⋯ , a r ∈ Z + a_1,\cdots,a_r\in{Z^{+}} a1,⋯,ar∈Z+，我们称这样的形式为 n n n的标准（素数）分解式。
欧拉函数
对任意一个正整数 n n n，在 1 1 1到 n n n的这 个整数里，显然有些和 n n n是互素的，而有些和 n n n是不互素的，那些和 n n n互素的整数
的数量就是 n n n的欧拉函数，记作 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) 。
那么 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)该怎么计算呢？
我们都知道任意整数 n n n都可以表示成它的所有素因子的乘积：
(1) n = p 1 l 1 p 2 l 2 ⋯ p s l s n=p_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}\tag{1} n=p1l1p2l2⋯psls(1)
所以所有那些和 n n n不互素的数，一定和 n n n有其中某个素因子作为公共因子。所以我们只要从 1 1 1到 n n n中的所有整数中，是 p 1 , p 2 , ⋯ , p s p_1,p_2,\cdots,p_s p1,p2,⋯,ps的倍数的依次剔除，剩下的就是与 n n n互素的数。
例如， p 1 p_1 p1的倍数一共有多少个呢，由于 p 1 p_1 p1 的倍数在 1 1 1到 n n n 中是均匀分布的，所以占据的比例是 1 p 1 \frac{1}{p_1} p11，剔除 p 1 p_1 p1的倍数后，
还剩下 n ( 1 − 1 p 1 ) n(1-\frac{1}{p_1}) n(1−p11)个；在剩下的数中，由于 p 2 p_2 p2的倍数在 1 1 1到 n n n中也是均匀分布的，所以占据的比例是 1 p 1 \frac{1}{p_1} p11，所以再剔除
p 2 p_2 p2的倍数后，剩下 n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2}) n(1−p11)(1−p21)个。以此类推，当把所有素因子的整数倍都剔除后，剩下的数共有 n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p s ) n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_s}) n(1−p11)(1−p21)⋯(1−ps1)个。即： (2) ϕ ( n ) = n ∏ i = 1 s ( 1 − 1 p s ) \phi(n)=n\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_s})\tag{2} ϕ(n)=ni=1∏s(1−ps1)(2).
由此可见，求欧拉函数的关键在于求出 n n n的所有素因子，即对 n n n做素因子分解。
有一种特殊情况， n n n为素数，那么 n n n 仅有一个素因子，即它自己。此时 ϕ ( n ) = n ( 1 − 1 n ) = n − 1 \phi(n)=n(1-\frac{1}{n})=n-1 ϕ(n)=n(1−n1)=n−1。
还有一种特殊情况， n n n仅有两个素因子，即 n = p q n=pq n=pq，那么 ϕ ( n ) = p q ( 1 − 1 p ) ( 1 − 1 q ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) \phi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1) ϕ(n)=pq(1−p1)(1−q1)=(p−1)(q−1) 。如果已知 p p p和 q q q，显然 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)是好求的；而如果仅知道 n n n，而不知道 p p p和 q q q，那么必须要先对 n n n做素因子分解，得到 p p p和 q q q，才能求得 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)。
如果这两个素因子 p , q p,q p,q都极大，那么当然 n n n也就极大。要从 1 1 1到 n n n这 n n n个数中找出这两个素因子，就如同大海捞针，复杂度极高。
丢番图方程
古希腊数学家丢番图首次系统地研究了方程的整数解问题，现在涉及整数解的方程都叫做丢番图方程，也叫不定方程。
丢番图方程，又称不定方程，是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式；即形式如 a 1 x 1 b 1 + a 2 x 2 b 2 + ⋯ + a n x n b n = c a_1x_1^{b_1} + a_2x_2^{b_2}+\cdots +a_nx_n^{b_n}=c a1x1b1+a2x2b2+⋯+anxnbn=c的等式，并且其中所有的 a j a_j aj, b j b_j bj和 c c c均是整数。若其中能找到一组整数解 m 1 m_1 m1, m 2 ⋯ m n m_2\cdots m_n m2⋯mn者则称之为有整数解。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式，即此多项式为次数为 0 0 0或 1 1 1的单项式的和。
【定理】设 a 1 , ⋯ , a n , b ∈ Z a_1,\cdots,a_n,b\in Z a1,⋯,an,b∈Z，则线性丢番图方程 a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b a1x1+a2x2+⋯+anxn=b有整数解当且仅当 ( a 1 , ⋯ , a n ) ∣ b (a_1,\cdots,a_n)|b (a1,⋯,an)∣b.
贝祖等式
对任何整數 a , b a,b a,b和 m m m，关于未知数 x x x和 y y y的线性丢番图方程（称为贝祖等式）： a x + b y = m ax+by=m ax+by=m.有整数解时当且仅当 m m m是 a a a和 b b b的最大公约数 d d d的倍数，即 ( a , b ) ∣ m (a,b)|m (a,b)∣m.