分治算法：芯片测试

问题描述

有n片芯片，已知好芯片比坏芯片至少多1片。现在需要通过测试从中找出1片好芯片，测试方法如下：将2片芯片放到测试台上，2片芯片互相测试并报告测试结果（即好或者坏）；其中，好芯片的报告是正确的，而坏芯片的测试报告是不可靠的(即报告结果可能为“好”或者“坏”)。

方案一：枚举法

设计思路

拿单个芯片跟其余芯片进行测试，当测试结果为“好”的次数大于n/2时，则证明此芯片为好芯片，否则，进行下一个芯片的测试。

方案二：分治算法

设计思路

规则：好芯片比坏芯片至少多1片。
芯片数为偶数时，当测试结果为“好，好”，可丢弃其中一片，因为可能两个都是好芯片|两个都是坏芯片。当测试结果为“好，坏”，可两个都丢弃，因为这两个芯片至少有一个坏芯片，丢弃两个不影响规则。当测试结果为“坏，坏”时，也可全部丢弃，理由同上。
芯片数为奇数时，可对轮空的芯片进行线性测试，即可对最后一个芯片进行测试，若测试结果为“好”的次数≥芯片数量的一半，则为好芯片，否则，则丢弃该芯片。
边界条件：待测芯片等于3片，或者待测芯片小于2片(因为要满足上面的规则)

伪代码实现

输入：芯片数n 芯片数组chips[]
输出：测试次数
S1: if n=3 then return 1
S2: if n<3 then return 0
S3: if (n%2=0) then newChips[n/2]
S4: for i=0 to n
S5: if chips[i]=chips[i+1] then newChips[nElems++] = chips[i]
S6: return sum+findGoodChip(nElems,newChips)
S7: if n%2!=0 then
S8: for i = 0 to n-1
S9: if chips[i] = chips[n-1] then k++
S10: if k>n/2 return sum
S11: else 执行偶数测试过程

代码实现

static int findGoodChip(int n, int[] chips) {//n为芯片个数，chips[]为存放芯片报告的数组
		if(n == 3) {//只剩下三片芯片时，因为好芯片至少比坏芯片多一片，所有测试一次就可以找到好芯片
			return 1;
		}else if(n < 3)//当芯片小于3时，两个都是好芯片，直接找到。
			return 0;
		int sum = 0;
		if(n%2 == 0) {//当芯片个数为偶数时，分为n/2组，两两测试
			int[] newChips = new int[n/2];
			int nElem = 0;
			for(int i = 0;i < n;i+=2) {
				if(chips[i] == chips[i+1]) {
					newChips[nElem++] = chips[i];
				}
				sum++;
			}
			return sum+findGoodChip(nElem,newChips);
		}else {//当芯片为奇数时
			int k = 0;	
			for(int i = 0;i < n-1;i++) {//取最后一个芯片，用剩余的芯片对其测试
				if(chips[i] == chips[n-1])
					k++;
				sum++;
			}
			if(k >= n/2)//若测试结果“好”>一半，则为好芯片
				return sum;
			int[] newChips = new int[n/2];//否则，删掉最后一个芯片，对其余芯片进行偶数操作。
			int nElem = 0;
			for(int i = 0;i < n-1;i+=2) {
				if(chips[i] == chips[i+1])
					newChips[nElem++] = chips[i]; 
				sum++;
			}
			return sum+findGoodChip(nElem,newChips);
		}
	}

时间复杂度

每轮的淘汰，芯片个数至少减半，即W(n/2)，测试次数为O(n).(含轮空处理)
时间复杂度W(n)=W(n/2)+O(n)
当芯片个数为2或1时，无需测试。W(1)=W(2)=0
当芯片个数为3时，只需测试一次。W(3)=1
即W(n) = O(n)