【通信工程】通信原理笔记（2）：确知信号
本篇为樊昌信，曹丽娜. 通信原理（第七版）[M]. 北京：国防工业出版社（2012）的笔记（2）：确知信号。
目录
- 2. 确知信号
- 2.1 确知信号类型
- 2.2 确知信号的频域性质
- 2.3 确知信号的时域性质
- 确知信号：在定义域内的任意时刻都有确定的函数值。否则，为随机信号或不确知信号。
2. 确知信号
2.1 确知信号类型
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按照是否具有周期重复性区分：周期信号：每隔一定的时间间隔按相同规律重复且无始无终。 s ( t ) = s ( t + T 0 ) s(t) = s(t+T_0) s(t)=s(t+T0)，满足上式的最小 T 0 T_0 T0称为信号的基波周期。反之为非周期信号。
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按照信号能量是否有限区分：
能量
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E=\int_{-\infty}^\infty s^2(t)dt E=∫−∞∞s2(t)dt
功率
P = lim T → ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 s 2 ( t ) d t P=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)dt P=T→∞limT1∫−2T2Ts2(t)dt
能量信号： 0 < E < ∞ 0
2.2 确知信号的频域性质
- 周期性功率信号的频谱：对于周期功率信号可展开为指数型傅里叶级数。
s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n t T 0 s(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}C_ne^{\frac{j2\pi nt}{T_0}} s(t)=n=−∞∑∞CneT0j2πnt
其中傅里叶级数的系数
C n = C ( n f 0 ) = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t = ∣ C n ∣ e j θ n C_n = C(nf_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{-j2\pi n f_0 t}dt=|C_n|e^{j\theta_n} Cn=C(nf0)=T01∫−2T02T0s(t)e−j2πnf0tdt=∣Cn∣ejθn
称为信号的频谱，反映了信号中各次谐波的幅度值 ∣ C n ∣ |C_n| ∣Cn∣和相位值 θ n \theta_n θn。式中 f 0 = 1 T 0 f_0=\frac{1}{T_0} f0=T01称为信号的基频。 n f 0 nf_0 nf0称为信号的 n n n次谐波频率。 n = 0 n=0 n=0时为直流分量。
- 周期功率信号频谱的性质：对于物理可实现的信号，正频率和负频率部分间存在复数共轭关系。 C n C_n Cn的模偶对称，相位奇对称。
C − n = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e + j 2 π n f 0 t d t = [ 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t ] = C n ∗ C_{-n}=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) e^{+j 2 \pi n f_{0} t} d t=\left[\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) e^{-j 2 \pi n f_{0} t} d t\right]=C_{n}^{*} C−n=T01∫−T0/2T0/2s(t)e+j2πnf0tdt=[T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0tdt]=Cn∗
三角形式的傅里叶级数：
s ( t ) = C 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n 2 + b n 2 cos ( 2 π n t / T 0 + θ ) ] s(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}+\theta\right)\right] s(t)=C0+n=1∑∞[an2+bn2cos(2πnt/T0+θ)]
其表明：（1）实周期信号可分解为直流分量、基波和各次谐波分量的线性叠加。（2）振幅和相位称为单边谱。（3）频谱函数 C n C_n Cn称为双边谱。若 s ( t ) s(t) s(t)是实偶信号，则 C n C_n Cn为实函数。 若 s ( t ) s(t) s(t)不是偶信号，则 C n C_n Cn为复函数。
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能量信号的频谱密度：能量信号的傅里叶变换与反演。
S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π n f t d t s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) e j 2 π n f t d f S(f) = \int_{-\infty}^\infty s(t)e^{-j2\pi nft}dt\\ s(t) = \int_{-\infty}^\infty S(f)e^{j2\pi nft}df S(f)=∫−∞∞s(t)e−j2πnftdts(t)=∫−∞∞S(f)ej2πnftdf
区别： S ( f ) S(f) S(f)是连续谱， C n C_n Cn是离散谱。实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。 -
** δ \delta δ函数的性质 **：（1）可用抽样函数的极限表示。
δ ( t ) = lim k → ∞ k π Sa ( k t ) \delta(t)=\lim_{k \to \infty} \frac{k}{\pi} \operatorname{Sa}(k t) δ(t)=k→∞limπkSa(kt)
（2）
f ( t 0 ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t f\left(t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta\left(t-t_{0}\right) d t f(t0)=∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt
（3） δ \delta δ函数可以看作是单位阶跃函数的导数。
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能量信号的能量谱密度：
G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2 G(f) = |S(f)|^2 G(f)=∣S(f)∣2
能量Parseval定理：
E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f = ∫ − ∞ ∞ G ( f ) d f = 2 ∫ 0 ∞ G ( f ) d f E=\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} d f=\int_{-\infty}^{\infty} G(f) d f=2 \int_{0}^{\infty} G(f) d f E=∫−∞∞s2(t)dt=∫−∞∞∣S(f)∣2df=∫−∞∞G(f)df=2∫0∞G(f)df -
功率信号的功率谱密度：
P ( f ) = lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f) = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}|S_T(f)|^2 P(f)=T→∞limT1∣ST(f)∣2
S T ( f ) S_T(f) ST(f)为截断信号 s T ( t ) s_T(t) sT(t)的傅里叶变换。
功率Parseval定理：
P = lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s^{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} P(f) d f P=T→∞limT1∫−T/2T/2s2(t)dt=∫−∞∞P(f)df
周期信号的Parseval定理：
P = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C n ∣ 2 P=\sum_{n = -\infty}^{\infty}|C_n|^2 P=n=−∞∑∞∣Cn∣2
- 周期信号的功率谱密度：
P ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C n ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) P(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \delta\left(f-n f_{0}\right) P(f)=n=−∞∑∞∣Cn∣2δ(f−nf0)
2.3 确知信号的时域性质
- 能量信号的自相关函数：
R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)s(t+\tau)dt R(τ)=∫−∞∞s(t)s(t+τ)dt
当 τ = 0 \tau=0 τ=0时 R ( 0 ) R(0) R(0)等于信号的能量。 R ( τ ) = R ( − τ ) R(\tau) = R(-\tau) R(τ)=R(−τ)。 R ( τ ) R(\tau) R(τ)与 ∣ S ( f ) ∣ 2 |S(f)|^2 ∣S(f)∣2是一对傅里叶变换。
- 功率信号的自相关函数：
R ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s(t) s(t+\tau) d t R(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s(t)s(t+τ)dt
当 τ = 0 \tau=0 τ=0时 R ( 0 ) R(0) R(0)等于平均功率。 R ( τ ) = R ( − τ ) R(\tau) = R(-\tau) R(τ)=R(−τ)。 R ( τ ) R(\tau) R(τ)与 P ( f ) P(f) P(f)是一对傅里叶变换。
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能量信号的互相关函数：
R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) d t R12(τ)=∫−∞∞s1(t)s2(t+τ)dt
R 12 ( τ ) = R 21 ( − τ ) R_{12}(\tau) = R_{21}(-\tau) R12(τ)=R21(−τ)。 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和 S 12 ( f ) S_{12}(f) S12(f)是一对傅里叶变换。 -
功率信号的互相关函数：
R 12 ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t R_{12}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) d t R12(τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2s1(t)s2(t+τ)dt
R 12 ( τ ) = R 21 ( − τ ) R_{12}(\tau) = R_{21}(-\tau) R12(τ)=R21(−τ)。 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)和 C 12 C_{12} C12是一对傅里叶变换。互功率谱： C 12 = ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 C_{12} = (C_n)_1^\ast(C_n)_2 C12=(Cn)1∗(Cn)2。