Python Leetcode练习(4.23/4.25作业)

因为一些原因， 这次的作业晚了一天写。 很抱歉。

11. Container With Most Water

题目意思很简单： 给出a_1, a_2, ..., a_n总共n个非负整数，求出一对a_i、a_j(i < j)， 满足min(a_i, a_j)*(j - i)是最大的。

解决思路

我们可以记S_ij = min(a_i, a_j)*(j - i)。
可以证明：当a_i < a_j时， 一定有S_ij > S_ik ( i < k < j)。 证明如下：
因为a_i < a_j， 所以有S_ij = a_i * (j -i)
如果a_k <= a_i， 显然有S_ij > S_ik，
而若a_k > a_i，S_ik = a_i * (k - i) < a_i * (j - i)。证毕

类似地可以证得到: 当a_i > a_j时， 一定有S_ij > S_kj ( i < k < j)。
且当a_i = a_j时，可以归入到前面两种情况的任意一种中去。

有了上述结论，我们就可以得到一个解决的方法：
① 令i = 1， j = n
② 从a_i， a_j较小的那一边开始迭代。
若a_i <= a_j，则令k从(i+1)开始递增，直到找到S_kj > S_ij时， 令i = k，然后重复②，或k > j时，跳到③
若a_i > a_j， 则令k从(j-1)开始递减，知道找到S_ik > S_ij时，令j = k， 然后重复②， 或k < i时， 跳到③
③程序运行结束， 答案就是S_ij。

时间复杂度为O(n)

以下为源代码:
(源代码中的实现与上述描述的实现不完全一致， 但整体上思路是相同的）

class Solution:
    def maxArea(self, height):
        """
        :type height: List[int]
        :rtype: int
        """
        i = 0
        j = len(height) - 1
        S = 0
        while (i < j):
            T = min(height[i], height[j]) * (j - i)
            if (T > S):
                S = T
            if (height[i] == height[j]):
                i += 1
                j -= 1
            elif (height[i] < height[j]):
                i += 1
            else:
                j -= 1
        return S

120. Triangle

题目概述：给定一个数字三角形， 找到一条从顶至底的最短路径，每一步可以从一行已到下一行正下方的相邻两个元素之一。例如， 给定下面的数字三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

最短的从顶至底的路径长度为11（2+3+5+1=11）。

解决思路

动态规划例题。记F[i, j]是走到第i行第j个元素时最短的路径长度。转移方程为：
F[i, j] = min(F[i - 1, j - 1], F[i - 1, j]) + a[i, j]
边界条件为F[0, 0] = a[0, 0]
注意判断数组越界条件。
答案是min(F[n, i]) (1 <= i <= n) （假设三角形有n层）
时间复杂度为O(n^2)， n为三角形层数
以下为源代码：
(源代码中使用了滚动数组)

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle):
        """
        :type triangle: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        f = [triangle[0][0]]
        g = []
        for i in range(1, len(triangle)):
            g.append(f[0] + triangle[i][0])
            for j in range(1, i):
                g.append(min(f[j - 1], f[j]) + triangle[i][j])
            g.append(f[len(f) - 1] + triangle[i][i])
            f = g
            g = []
        return min(f)

153. Find Minimum in Rotated Sorted Array

题目概述：给定某个递增序列旋转后的结果， 求出这个递增序列中最小数。（假定这个序列没有相同的两个元素）。（什么是旋转？ 大概意思就是指选定任意一位关键位i(pivot)， 把序列中i~n个元素放到序列的前n-i+1位， 把序列中0~(i-1)个元素放到序列的后i位中）

解决思路

若关键位i不为0（即没有旋转），则旋转后的序列一定满足以下条件:
存在一个j(≠0)， 满足a[j] < a[j + 1] < ... < a[n] < a[0] < a[1] < ... < a[j - 1]
我们的目标就是要找到这个j，答案就是a[j]。
有了这个条件，可以考虑使用二分法来解决这个问题：
① 初始化二分区间边界left = 0, right = n
② 取二分区间的中值mid = (left + right)/2。
若a[mid] > a[right]，目标值在二分区间的右半部分(不包括mid)，更新left = mid + 1。
若a[mid] < a[right]，目标值在二分区间的左半部分(包括mid)，更新right = mid。
时间复杂度为O(logn)
源代码:

class Solution:
    def findMin(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        left = 0
        right = len(nums) - 1
        while (right > left):
            mid = int((left + right) / 2) 
            if nums[mid] > nums[right]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        return nums[right]