奇异值分解例题

参考：https://open.163.com/movie/2016/4/D/4/MBKJ0DQ52_MBQUMH1D4.html 但是里面有几点没说清楚，并且用的2*2的矩阵，这个和我们经常算的3*2不太一样。

首先奇异值分解是A=u\epsilon v^{T}

1.则

那么
我们知道A可能不是一个方阵，那么经过A^{T}A后一定是个方阵，因为m*n 乘以 n*m 最后为 m*m。ok，方阵的话就可以进行求它的特征值。从这就能看出我们说的奇异值就是刚刚求得的特征值开方结果。

我们知道u,v是酉矩阵，seigema是对角矩阵。（n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。显然酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。百度百科）
则u^{T}u=I
2.再看
则

ok，至此就算学会了。
1步，计算出特征值，并求出特征向量。特征值开方就是奇异值（按从大到小组成矩阵），其对应的特征向量所组成的矩阵就是v（记得标准化）。
2步，算u,才开始看的时候其实我很迷糊，为什么Av后所得到的就是u呢，其实你想，，sigema就是一个对角矩阵，右乘一个对角矩阵就是对其列向量进行了伸缩而已。所以我们只需对其进行标准化就好了。

奇异值分解多用于求逆矩阵和pca。一般大型矩阵求逆矩阵不好求。分结构，对A求逆其实就是对，u*sigma*v^{T}求逆。PCA下一篇介绍。