结合COMSOL,浅谈多场耦合

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        有人说“有限元的未来在于多场耦合”，因为多场耦合能最大程度地体现分析对象的真实工况，在真实环境下，研究对象往往同时受多个场的作用，越是逼近真实的也就越是合理和可靠的。因此多场耦合确实体现了有限元的发展方向。多场耦合的计算其实是一个很复杂的过程。体现多场耦合也有很多途径和方法，大体来说可分为多场直接耦合和多个场顺序耦合！这两种方法都是体现多场耦合，但采用的是完全不同的办法。一般情况下，这两种耦合都采用有限元方法来计算。一些商业软件中也提供多场耦合计算，但采用的方法也是各不相同的 ，比如ansys和comsol都可以考虑多场影响，但方法和途径也各不相同，比如ansys有限元多场耦合是基于变分法的，而COMSOL的多场耦合是基于加权残值法的。ansys的多场耦合又可分为直接耦合 和顺序耦合两大部分，而comsol的多场耦合似乎都是顺序耦合，因为comsol的各个模块的单元都是独立的，在计算各个场变量的时候是由顺序的，而直接耦合，由于每个单元同时包括各个场的自由度，所以它的即时和同时的，一次计算的各场变量是没有顺序的，这也是直接耦合和顺序耦合的区别。

        COMSOL的耦合又和ansys中的顺序耦合不同，ansys的顺序耦合是首先单个场计算，在算下一个场的时候，调用上一场的结果，体现场和场的影响。而comsol的多场耦合，虽然也是有顺序性，但它是通过耦合变量来求解各个场的反演方程和各个积分方程，耦合变量会在设定的模型中与各个独立场变量同时求解，comsol的多场耦合在求解一个场的时候,耦合变量会调用下一场去反算,通过引入耦合变量耦合变量来体现双向耦合。从原理上看，直接耦合最接近实际情况，因为采用耦合单元，它的每步计算同时地，无中间条件地体现了多场作用和影响，而像ansys的顺序耦合，不是点点，时时耦合，更像阶段-阶段耦合，只能算是多场耦合的一种方法，结果是否合理可靠是另一回事，我个人认为comsol的多场耦合结果的可靠和合理程度，应该居于直接耦合和顺序耦合之间。

        既然直接耦合最为可靠，但为什么直接耦合应用却很有限？这要从商业软件的通用性来解释，虽然直接耦合有严密的数学基础，但场的类型也是千变万化的，直接耦合依赖于其耦合多个场自由度的单元，从理论上说，每一组场的场的组合就要提供对应类型的单元，比如 热-结构 耦合，要提供热-结构单元，热-力-电耦合要提供对应的热-力-电耦合单元，假如有多个场，各个场的组合种类是很庞大的，因此需要的单元类型也是庞大的，对商业软件来说也是需要很大开发成本的，也是不具有通用性的，因为场是多种多样的，假如软件上没有对应的场，即使知道了相应的控制方程，也无法和其他场耦合起来，所以说不通用，也不具有开放性。而comsol采用的耦合方法是有很大通用性和开放性的，貌似有场的控制方程，就能计算场的耦合，似乎是无所不能的。从工程上看，comsol的多场耦合应用范围最广，什么场都可以算都可以考虑，也能为大家所接受，而从学术上看，真正的耦合是直接耦合，要整合多个场的控制方程，使偏微分方程同时体现多个场的作用。

        对直接耦合举个例子，例如热压电材料的热-力-电耦合：其经典理论方程包括变形场，温度场和电场，基本变量包括位移，温度和电势。这三个场的控制场方程，梯度方程，本构方程一共由27个方程组成，通过数学推导，可以将这27个方程简化为5个含 位移，电势和温度的偏微分方程，加上边界条件，直接耦合就是求这些偏微分方程。这就是直接耦合的过程。而comsol不是这样的。

        对直接耦合举个例子，例如热压电材料的热-力-电耦合：其经典理论方程包括变形场，温度场和电场，基本变量包括位移，温度和电势。这三个场的控制场方程，梯度方程，本构方程一共由27个方程组成，通过数学推导，可以将 ... 例如对上例中的 经过数学推导 整合后的一组多场偏微分方程如图所示

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