SVD求解Ax=0

AX=0的解

对于齐次线性方程组:
$$Ax=0(A\in R^{m\times n})$$
m是方程数，n是未知数的个数

• 当r(A)=r(A ) =n时：

  当A是方阵（m=n）时：

  ​ 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0，否则只有唯一零解。

  当A（m>n)时-超定方程：

  ​ 只有零解，但是零解一般而言并不是我们想要的，因此需要求它的一个最小二乘解，因为解并不唯一，需要一个合理的约束只求||x||=1的解

• 当r(A)=r(A )

  而且此时基础解系并不唯一（如果x是方程组的一个解，那么对于任意常数k，kx也是方程组的一个解），方程组必有含 n - r(A) 个向量的基础解系，
  $$\begin{gathered} 若{\xi }_1，{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}是方程组的基础解系，那么此时方程组的解可以表示为： \\ x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+K_{n-r}{\xi }_{n-r} \end{gathered}$$

注：

n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是其系数行列式不等于0，这是线性代数中最重要的结论之一。当线性方程组的系数行列式等于0时，该线性方程组可能无解也可能有无数解，而由于齐次方程组必有零解，故系数行列式等于0时齐次方程组不可能无解，所以有无数组解，也就是有非零解。如果齐次方程组的系数行列式不等于0，那么它有唯一解，又因其必有零解，故这时齐次方程组只有零解。

https://wenku.baidu.com/view/d216b8ba1eb91a37f0115c2f.html

AX=0的最小二乘解

在实际中，所关心的并非是齐次最小二 乘问题的零解，而是它的非零解。因此，总是考虑相应的约束最小二乘问题：
$$\begin{gathered} min||Ax|{|}_2^2 \\ subjectto||x|{|}_2=1 \end{gathered}$$
SVD求解:

奇异值分解定义：

有一个m×n的实数矩阵A，我们想要把它分解成如下的形式：
$$A=U\Sigma V^T$$
其中U和V均为单位正交阵

具体计算可以参考：https://byjiang.com/2017/11/18/SVD/

或者：奇异值分解与应用
$$\begin{gathered} min||Ax|{|}_2^2=min||U\Sigma V^{T}x|{|}_2^2=min||\Sigma V^{T}x|{|}_2^2 \\ subjectto||x|{|}_2=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 设y=V^{T}x \\ 有：min||\Sigma V^{T}x|{|}_2^2=min||\Sigma y|{|}_2^2 \\ subjectto||y|{|}_2=1 \end{gathered}$$

问题可解。

Ax=0的解是ATA/AAT的最小特征值的特征矢量：

《计算机视觉中的数学方法》推论8.4.6

上述问题等价于(构造成二次型形式求解最小范数问题）：
$$\begin{gathered} min{x}^T{A}^{T}Ax \\ subjectto||x|{|}_2=1 \end{gathered}$$
注：
$$\begin{gathered} 当AX=0时，A^{T}AX=0，所以AX=0的解是A^{T}AX=0的解。 \\ 当A^{T}AX=0时，等式两边同时乘以X^T，得X^T{A}^{T}AX=0， \\ 也就是（AX{）}^{T}AX=0。 \\ 而（AX{）}^{T}AX=||AX||，称为AX的范数，它的取值大于等于0，当且仅当AX=0时，||AX||=0。 \\ 所以A^{T}AX=0时，AX=0，即A^{T}AX=0的解是AX=0的解。 \end{gathered}$$
然后SVD求解

主要利用如下性质：
$$\begin{gathered} A{A}^T=U\Sigma V^{T}V{\Sigma }^T{U}^T=U\Sigma {\Sigma }^T{U}^T \\ {A}^{T}A=V{\Sigma }^T{U}^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^T\Sigma V^T \end{gathered}$$

$$\Sigma {\Sigma }^T=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& 0& \cdots & 0\\ 0& {\sigma }_2^2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\sigma }_m^2\end{array}\right],{\Sigma }^T\Sigma =\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& 0& \cdots & 0\\ 0& {\sigma }_2^2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right]$$

OpenCV求解SVD

https://blog.csdn.net/weixin_42587961/article/details/96865137

为什么Ax=0的SVD解是V的最后一列

https://blog.csdn.net/weixin_42587961/article/details/97241162

参考

《计算机视觉中的多视图几何》P412

《计算机视觉中的数学方法》第八章