信号与系统：第一章

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第一章 信号与系统

连续时间信号与离散时间信号

定义

Continuous-Time Signal：用t表示，( )

Discrete-Time Signal：用n表示，[ ]，称为离散时间序列

Signal Energy and Power

1. instantaneous power 瞬时功率： p(t)=|x(t)|2 p ( t ) = | x ( t ) | 2
2. total energy 总能量：
   
   • E=∫t2t1p(t)dt E = ∫ t 1 t 2 p ( t ) d t （连续时间信号） t1≤t≤t2 t 1 ≤ t ≤ t 2
   • E=∑n2n=n1x2[n] E = ∑ n = n 1 n 2 x 2 [ n ] （离散时间信号） n1≤n≤n2 n 1 ≤ n ≤ n 2
   • E∞=∫+∞−∞p(t)dt E ∞ = ∫ − ∞ + ∞ p ( t ) d t （连续时间信号） −∞<t<+∞ − ∞ < t < + ∞
   • E∞=∑+∞−∞x2[n] E ∞ = ∑ − ∞ + ∞ x 2 [ n ] （离散时间信号） −∞<n<+∞ − ∞ < n < + ∞
3. Time-averaged power 平均功率
   
   • P∞=limT→∞12T∫T−T|x(t)|2dt P ∞ = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T T | x ( t ) | 2 d t 连续时间信号
   • P∞=limN→∞12N∑Nn=−N|x[n]|2 P ∞ = lim N → ∞ 1 2 N ∑ n = − N N | x [ n ] | 2 离散时间信号
4. 分类
   
   • 能量信号（Energy signal）： E∞<∞,P∞=0 E ∞ < ∞ , P ∞ = 0 能量有限
   • 功率信号（Power signal）： P∞<∞,E∞→∞ P ∞ < ∞ , E ∞ → ∞
5. 总能量发散 ⇒E∞→∞ ⇒ E ∞ → ∞
6. 平均功率不收敛 ⇒P∞→∞ ⇒ P ∞ → ∞

Transformation of the independent variable 自变量的变换

自变量变换

1. Time shift 时移

2. Time reversal 时间反转

3. Time scaling 尺度变换

   • 连续时间信号： t→at⇒x(t)→x(at) t → a t ⇒ x ( t ) → x ( a t )

   

4. 先左右移动，再反转，最后尺度变换（所乘系数的倒数）

周期信号 period signal

x(t)=x(t+T) x ( t ) = x ( t + T ) ，使该式成立的最小正值 T T 称为基波周期（fundamental period）

偶信号和奇信号

1. odd signal x(−t)=−x(t) x ( − t ) = − x ( t ) x[−n]=−x[n] x [ − n ] = − x [ n ]
2. even signal x(−t)=x(t) x ( − t ) = x ( t ) x[−n]=x[n] x [ − n ] = x [ n ]
3. 任何信号都可以分解为奇信号和偶信号
   
   • 偶部： Ev{x(t)}=12[x(t)+x(−t)] E v { x ( t ) } = 1 2 [ x ( t ) + x ( − t ) ]
   • 奇部： Od{x(t)}=12[x(t)−x(−t)] O d { x ( t ) } = 1 2 [ x ( t ) − x ( − t ) ]

Exponential and Sinusoidal Signal 指数信号和正弦信号

​ 基本信号是整个信号与系统的重要概念，研究基本信号通过系统的响应，再以此为材料，研究复杂信号通过系统的响应。其他信号大部分可以通过基本信号来表示，且基本信号通过系统的响应容易分析，由此分析复杂信号通过系统的响应。研究两个重要的基本信号，两个单位的冲激信号通过系统的响应，建立连续/离散时间信号输入/输出的映射关系，进一步用复指数信号来表示其他信号，因此我们要知道基本信号在时域上的特征有所了解。

Continuous-Time Complex Exponential and Sinusoidal Signals 连续时间信号的复指数信号和正弦信号

x(t)=C⋅est−∞<t<∞ x ( t ) = C ⋅ e s t − ∞ < t < ∞ （s为复数）

当其作为时间函数时， s s 是确定的，但 s s 的值将使信号表现出不同的特征

1. 当 s s 为实数时，real exponential signals 实指数信号 x(t)=C⋅eat x ( t ) = C ⋅ e a t

2. 当 s s 为纯虚数时，periodic complex exponential and sinusoidal signal 周期复指数信号和正弦信号

   x(t)=C⋅ejw0t,−∞<t<∞,s=jw0 x ( t ) = C ⋅ e j w 0 t , − ∞ < t < ∞ , s = j w 0

（1）period 周期：

​ ejw0(t+T)=ejw0t e j w 0 ( t + T ) = e j w 0 t

⇒ejw0T=1 ⇒ e j w 0 T = 1

⇒cosw0T+jsinw0T=1 ⇒ c o s w 0 T + j s i n w 0 T = 1

⇒w0T=2kπ,k=0,±1,±2,... ⇒ w 0 T = 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

因此， T=2πkw0 T = 2 π k w 0

基波周期： T0=2π|w0| T 0 = 2 π | w 0 | ， w0 w 0 为基波频率（fundamental frequency）

（2）Euler’s relation 欧拉关系

ejw0t=cosw0t+jsinw0t e j w 0 t = c o s w 0 t + j s i n w 0 t

cosw0t=12(ejw0t+e−jw0t) c o s w 0 t = 1 2 ( e j w 0 t + e − j w 0 t )

sinw0t=12j(ejw0t−e−jw0t) s i n w 0 t = 1 2 j ( e j w 0 t − e − j w 0 t )

（3）Average Power

ET0=∫T00|ejw0t|2dt=T0 E T 0 = ∫ 0 T 0 | e j w 0 t | 2 d t = T 0

E∞→∞ E ∞ → ∞

PT0=1T0ET0=1 P T 0 = 1 T 0 E T 0 = 1

P∞=limT→∞12T∫+T−T|ejw0t|2dt=1 P ∞ = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T | e j w 0 t | 2 d t = 1

功率信号

（4）Harmonic relation 谐波关系

ejw0t→ e j w 0 t → 基本信号

∅k(t)=ejkw0t,k=0,±1,±2,... ∅ k ( t ) = e j k w 0 t , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

共同周期： T0=2π|w0| T 0 = 2 π | w 0 | ， w0 w 0 为基波周期

kth k t h 谐波： Tk=T0|k|,wk=kw0 T k = T 0 | k | , w k = k w 0

1. 一般复指数信号

x(t)=C⋅est,s=σ+jw0,C=|C|⋅ejθ x ( t ) = C ⋅ e s t , s = σ + j w 0 , C = | C | ⋅ e j θ

x(t)=|C|⋅ejθ⋅ej(w0t+θ) x ( t ) = | C | ⋅ e j θ ⋅ e j ( w 0 t + θ )

离散时间下的复指数信号

x[n]=C⋅αn,−∞<n<∞ x [ n ] = C ⋅ α n , − ∞ < n < ∞

x[n]=C⋅eβn x [ n ] = C ⋅ e β n ，当 α=eβ α = e β 时

1. 实指数信号： α=a⇒x[n]=C⋅an α = a ⇒ x [ n ] = C ⋅ a n
2. 周期复指数信号和正弦信号： β=jw⇒x[n]=ejw0n β = j w ⇒ x [ n ] = e j w 0 n
3. 一般复指数信号：

x[n]=C⋅αn,C=|C|⋅ejθ,α=|α|⋅ejw0,∴x[n]=|C||α|⋅ej(w0n+θ) x [ n ] = C ⋅ α n , C = | C | ⋅ e j θ , α = | α | ⋅ e j w 0 , ∴ x [ n ] = | C | | α | ⋅ e j ( w 0 n + θ )

离散时间复指数序列的周期性质

1. ej(w0n+2πn)=ejw0n⋅ej2πn=ejw0n e j ( w 0 n + 2 π n ) = e j w 0 n ⋅ e j 2 π n = e j w 0 n ， w0 w 0 变化 2kπ 2 k π 时信号相同， w0∈[0,2π) w 0 ∈ [ 0 , 2 π )

2. ejw0t=cosw0n+jsinw0n e j w 0 t = c o s w 0 n + j s i n w 0 n

   w0=2kπ w 0 = 2 k π ，信号频率低； w0=(2k+1)π w 0 = ( 2 k + 1 ) π ，信号频率高

3. 周期特点： w02π=kN→ w 0 2 π = k N → 有理数； N=2πw⋅k N = 2 π w ⋅ k ，基波周期

ejw0t e j w 0 t	ejw0n e j w 0 n
w0 w 0 不同，信号不同	w0 w 0 相差 2kπ 2 k π ，信号相同
w0 w 0 越大，频率越高	w0=2kπ w 0 = 2 k π ，低频； w0=(2k+1)π w 0 = ( 2 k + 1 ) π ，高频
周期信号	当 w02π w 0 2 π 有理时，为周期信号

4. 对于成谐波关系的信号 ∅k[n]=ejkw0n,k=0,±1,±2,... ∅ k [ n ] = e j k w 0 n , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ，在这组信号中，互不相同的信号只有N组

The Unit Impulse and Unit Step Function 单位冲激信号和单位阶跃信号

The Discrete-Time Unit Impulse and Unit Step Sequences 离散时间信号的单位脉冲和单位阶跃序列

Unit Impulse： δ[n]={10n=0n≠0 δ [ n ] = { 1 n = 0 0 n ≠ 0

Unit Step： u[n]={10n≥0n<0 u [ n ] = { 1 n ≥ 0 0 n < 0

1. 取样特性 Sampling property

x[n]δ[n]=x[0]δ[n] x [ n ] δ [ n ] = x [ 0 ] δ [ n ]

x[n]δ[n−k]=x[k]δ[n−k] x [ n ] δ [ n − k ] = x [ k ] δ [ n − k ]

∑+∞k=−∞x[n]δ[n−k]=∑+∞k=−∞x[k]δ[n−k] ∑ k = − ∞ + ∞ x [ n ] δ [ n − k ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] δ [ n − k ]

∵∑∞k=−∞δ[n−k]=1⇒x[n]=∑∞k=−∞x[k]δ[n−k] ∵ ∑ k = − ∞ ∞ δ [ n − k ] = 1 ⇒ x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] δ [ n − k ] （单位冲激信号的筛选特性）

u[n]=∑+∞k=−∞u[k]δ[n−k]=∑+∞k=0u[k]δ[n−k]=∑+∞k=0δ[n−k] u [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ u [ k ] δ [ n − k ] = ∑ k = 0 + ∞ u [ k ] δ [ n − k ] = ∑ k = 0 + ∞ δ [ n − k ]

​ ⇒u[n]=∑nm=−∞δ[m] ⇒ u [ n ] = ∑ m = − ∞ n δ [ m ]

δ[n]=u[n]−u[n−1] δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1 ]

连续时间的单位阶跃和单位冲激函数

1. 单位阶跃函数 u(t)={10t>0t<0 u ( t ) = { 1 t > 0 0 t < 0
2. 单位冲激信号
   
   • δ(t)=du(t)dt,u(t)=∫t−∞δ(τ)dτ δ ( t ) = d u ( t ) d t , u ( t ) = ∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ
   • δ(t)={0∫+∞−∞δ(t)dt=1t≠0t=0,∫0+0−δ(t)dt=1 δ ( t ) = { 0 t ≠ 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 t = 0 , ∫ 0 − 0 + δ ( t ) d t = 1
   • 在第二章引入卷积积分的严密定义
   • 如果 s(t) s ( t ) 是偶信号， ∫+∞−∞δ(t)dt=1⇒δ(t)=limk→∞k⋅s(kt) ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 ⇒ δ ( t ) = lim k → ∞ k ⋅ s ( k t )

The property of Unit Impulse Function

1. Sampling and Sifting properties

   • f(t)δ(t)=f(0)δ(t) f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) ，冲激值变为f(0)，采样特性

   • ∫+∞−∞f(t)⋅δ(t)dt=f(0) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t ) d t = f ( 0 ) ，筛选特性

     注意，采样特性得到的是冲激，筛选特性得到的是常数

     ∫+∞−∞f(t)δ(t)dt=∫0+0−f(t)δ(t)dt=f(0)∫0+0−δ(t)dt=f(0) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = ∫ 0 − 0 + f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ 0 − 0 + δ ( t ) d t = f ( 0 )

     ∫+∞−∞φ(t)f(t)δ(t)dt=f(0)φ(0) ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) φ ( 0 )

   • 推广：

     • f(t)δ(t−t0)=f(t0)⋅δ(t−t0) f ( t ) δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) ⋅ δ ( t − t 0 )
     • ∫+∞−∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 )

2. Scaling property

   如果 a a 是实数， a≠0 a ≠ 0 ， δ(at)=1|a|δ(t) δ ( a t ) = 1 | a | δ ( t ) ，改变冲激的强度

   特别的，当 a≠−1 a ≠ − 1 时， δ(−t)=δ(t) δ ( − t ) = δ ( t ) ，偶函数

Continuous-Time and discrete-time system 连续时间和离散时间系统

简单系统举例

串联 series interconnection

级联 cascade interconnection ⊕ ⊕ 表示相加

反馈互联 feedback interconnection

Basic System Properties 基本系统性质

System with and without Memory 记忆系统与无记忆系统

• 无记忆系统：一个系统的输入仅仅取决于该时刻的输入
• 有记忆系统：一个系统的输入取决于以前的输入或以后的输入
• y(t)=x(t)→ y ( t ) = x ( t ) → 无记忆系统，恒等系统（identity system）
• y[n]=∑nk=−∞x[k]→ y [ n ] = ∑ k = − ∞ n x [ k ] → 有记忆系统，累加器（accumulator）或相加器（summer）
• y[n]=x[n−1]→ y [ n ] = x [ n − 1 ] → 有记忆系统，延迟单元（delay）

Invertibility and Inverse System 可逆系统与不可逆系统

一一对应

Causality 因果性

因果系统：一个系统在任何时刻的输入只取决于现在的输入和过去的输入，该系统就称为因果系统

无记忆系统 ⊂ ⊂ 因果系统

Stability 稳定性

稳定系统：有界的输入对应有界的输出 |x(t)|<M⇒|y(t)|<B | x ( t ) | < M ⇒ | y ( t ) | < B

eg： y(t)=tx(t) y ( t ) = t x ( t ) 不稳定，若对于 ∀t,x(t)=A,A ∀ t , x ( t ) = A , A 为常数，那么 y(t)→∞ y ( t ) → ∞

Time Invariance 时不变性

输入时移，输出时移，形状不发生改变

y(t)=L{x(t)}⇒L{x(t−t0)}=y(t−t0) y ( t ) = L { x ( t ) } ⇒ L { x ( t − t 0 ) } = y ( t − t 0 )

eg：

y(t)=sin[x(t)] y ( t ) = s i n [ x ( t ) ]

y1(t)=sin[x1(t)] y 1 ( t ) = s i n [ x 1 ( t ) ]

x2(t)=x1(t−t0) x 2 ( t ) = x 1 ( t − t 0 )

y2(t)=sin[x2(t)]=sin[x1(t−t0)]=y1(t−t1) y 2 ( t ) = s i n [ x 2 ( t ) ] = s i n [ x 1 ( t − t 0 ) ] = y 1 ( t − t 1 ) ，时不变系统

eg：

y(t)=x(2t) y ( t ) = x ( 2 t )

y1(t)=x1(2t) y 1 ( t ) = x 1 ( 2 t )

x2(t)=x1(t−t0) x 2 ( t ) = x 1 ( t − t 0 )

y2(t)=x2(2t)=x1(2t−t0)≠y1(t−t0) y 2 ( t ) = x 2 ( 2 t ) = x 1 ( 2 t − t 0 ) ≠ y 1 ( t − t 0 ) ，时变系统

Linearity 线性

1. Additivity 可加性

{f1(t)→y1(t)f2(t)→y2(t)⇒f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t) { f 1 ( t ) → y 1 ( t ) f 2 ( t ) → y 2 ( t ) ⇒ f 1 ( t ) + f 2 ( t ) → y 1 ( t ) + y 2 ( t )

1. Scaling 比例性 或 Homogeneous 齐次性

f(t)→y(t)⇒af(t)→ay(t) f ( t ) → y ( t ) ⇒ a f ( t ) → a y ( t )

af1(t)+bf2(t)→ay1(t)+by2(t) a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) → a y 1 ( t ) + b y 2 ( t )

eg：

y(t)=tx(t) y ( t ) = t x ( t )

y1(t)=tx1(t) y 1 ( t ) = t x 1 ( t )

y2(t)=tx2(t) y 2 ( t ) = t x 2 ( t )

x(t)=Ax1(t)+Bx2(t) x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t )

y(t)=tAx1(t)+tBx2(t)=ty1(t)+ty2(t) y ( t ) = t A x 1 ( t ) + t B x 2 ( t ) = t y 1 ( t ) + t y 2 ( t ) ，线性的

• 增量线性系统（incrementally linear system）：一个系统的总输入由一个线性系统的响应与一个零输入响应（如 y0[n]=3 y 0 [ n ] = 3 ）的叠加组成