原文链接:https://littlefish33.cn/SignalAndSystem/chapter1
Continuous-Time Signal:用t
表示,( )
Discrete-Time Signal:用n
表示,[ ],称为离散时间序列
Time shift 时移
Time reversal 时间反转
Time scaling 尺度变换
先左右移动,再反转,最后尺度变换(所乘系数的倒数)
x(t)=x(t+T) x ( t ) = x ( t + T ) ,使该式成立的最小正值 T T 称为基波周期(fundamental period)
基本信号是整个信号与系统的重要概念,研究基本信号通过系统的响应,再以此为材料,研究复杂信号通过系统的响应。其他信号大部分可以通过基本信号来表示,且基本信号通过系统的响应容易分析,由此分析复杂信号通过系统的响应。研究两个重要的基本信号,两个单位的冲激信号通过系统的响应,建立连续/离散时间信号输入/输出的映射关系,进一步用复指数信号来表示其他信号,因此我们要知道基本信号在时域上的特征有所了解。
x(t)=C⋅est−∞<t<∞ x ( t ) = C ⋅ e s t − ∞ < t < ∞ (s为复数)
当其作为时间函数时, s s 是确定的,但 s s 的值将使信号表现出不同的特征
当 s s 为实数时,real exponential signals 实指数信号 x(t)=C⋅eat x ( t ) = C ⋅ e a t
当 s s 为纯虚数时,periodic complex exponential and sinusoidal signal 周期复指数信号和正弦信号
(1)period 周期:
ejw0(t+T)=ejw0t e j w 0 ( t + T ) = e j w 0 t
⇒ejw0T=1 ⇒ e j w 0 T = 1
⇒cosw0T+jsinw0T=1 ⇒ c o s w 0 T + j s i n w 0 T = 1
⇒w0T=2kπ,k=0,±1,±2,... ⇒ w 0 T = 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
因此, T=2πkw0 T = 2 π k w 0
基波周期: T0=2π|w0| T 0 = 2 π | w 0 | , w0 w 0 为基波频率(fundamental frequency)
(2)Euler’s relation 欧拉关系
(3)Average Power
功率信号
(4)Harmonic relation 谐波关系
ejw0t→ e j w 0 t → 基本信号
∅k(t)=ejkw0t,k=0,±1,±2,... ∅ k ( t ) = e j k w 0 t , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
共同周期: T0=2π|w0| T 0 = 2 π | w 0 | , w0 w 0 为基波周期
kth k t h 谐波: Tk=T0|k|,wk=kw0 T k = T 0 | k | , w k = k w 0
x[n]=C⋅αn,−∞<n<∞ x [ n ] = C ⋅ α n , − ∞ < n < ∞
x[n]=C⋅eβn x [ n ] = C ⋅ e β n ,当 α=eβ α = e β 时
x[n]=C⋅αn,C=|C|⋅ejθ,α=|α|⋅ejw0,∴x[n]=|C||α|⋅ej(w0n+θ) x [ n ] = C ⋅ α n , C = | C | ⋅ e j θ , α = | α | ⋅ e j w 0 , ∴ x [ n ] = | C | | α | ⋅ e j ( w 0 n + θ )
ej(w0n+2πn)=ejw0n⋅ej2πn=ejw0n e j ( w 0 n + 2 π n ) = e j w 0 n ⋅ e j 2 π n = e j w 0 n , w0 w 0 变化 2kπ 2 k π 时信号相同, w0∈[0,2π) w 0 ∈ [ 0 , 2 π )
ejw0t=cosw0n+jsinw0n e j w 0 t = c o s w 0 n + j s i n w 0 n
w0=2kπ w 0 = 2 k π ,信号频率低; w0=(2k+1)π w 0 = ( 2 k + 1 ) π ,信号频率高
周期特点: w02π=kN→ w 0 2 π = k N → 有理数; N=2πw⋅k N = 2 π w ⋅ k ,基波周期
ejw0t e j w 0 t | ejw0n e j w 0 n |
---|---|
w0 w 0 不同,信号不同 | w0 w 0 相差 2kπ 2 k π ,信号相同 |
w0 w 0 越大,频率越高 | w0=2kπ w 0 = 2 k π ,低频; w0=(2k+1)π w 0 = ( 2 k + 1 ) π ,高频 |
周期信号 | 当 w02π w 0 2 π 有理时,为周期信号 |
4. 对于成谐波关系的信号 ∅k[n]=ejkw0n,k=0,±1,±2,... ∅ k [ n ] = e j k w 0 n , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ,在这组信号中,互不相同的信号只有N组
Unit Impulse: δ[n]={10n=0n≠0 δ [ n ] = { 1 n = 0 0 n ≠ 0
Unit Step: u[n]={10n≥0n<0 u [ n ] = { 1 n ≥ 0 0 n < 0
x[n]δ[n]=x[0]δ[n] x [ n ] δ [ n ] = x [ 0 ] δ [ n ]
x[n]δ[n−k]=x[k]δ[n−k] x [ n ] δ [ n − k ] = x [ k ] δ [ n − k ]
∑+∞k=−∞x[n]δ[n−k]=∑+∞k=−∞x[k]δ[n−k] ∑ k = − ∞ + ∞ x [ n ] δ [ n − k ] = ∑ k = − ∞ + ∞ x [ k ] δ [ n − k ]
∵∑∞k=−∞δ[n−k]=1⇒x[n]=∑∞k=−∞x[k]δ[n−k] ∵ ∑ k = − ∞ ∞ δ [ n − k ] = 1 ⇒ x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] δ [ n − k ] (单位冲激信号的筛选特性)
u[n]=∑+∞k=−∞u[k]δ[n−k]=∑+∞k=0u[k]δ[n−k]=∑+∞k=0δ[n−k] u [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ u [ k ] δ [ n − k ] = ∑ k = 0 + ∞ u [ k ] δ [ n − k ] = ∑ k = 0 + ∞ δ [ n − k ]
⇒u[n]=∑nm=−∞δ[m] ⇒ u [ n ] = ∑ m = − ∞ n δ [ m ]
δ[n]=u[n]−u[n−1] δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1 ]
Sampling and Sifting properties
f(t)δ(t)=f(0)δ(t) f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) ,冲激值变为f(0),采样特性
∫+∞−∞f(t)⋅δ(t)dt=f(0) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t ) d t = f ( 0 ) ,筛选特性
注意,采样特性得到的是冲激,筛选特性得到的是常数
∫+∞−∞f(t)δ(t)dt=∫0+0−f(t)δ(t)dt=f(0)∫0+0−δ(t)dt=f(0) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = ∫ 0 − 0 + f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ 0 − 0 + δ ( t ) d t = f ( 0 )
∫+∞−∞φ(t)f(t)δ(t)dt=f(0)φ(0) ∫ − ∞ + ∞ φ ( t ) f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) φ ( 0 )
推广:
Scaling property
如果 a a 是实数, a≠0 a ≠ 0 , δ(at)=1|a|δ(t) δ ( a t ) = 1 | a | δ ( t ) ,改变冲激的强度
特别的,当 a≠−1 a ≠ − 1 时, δ(−t)=δ(t) δ ( − t ) = δ ( t ) ,偶函数
串联 series interconnection
级联 cascade interconnection ⊕ ⊕ 表示相加
反馈互联 feedback interconnection
一一对应
因果系统:一个系统在任何时刻的输入只取决于现在的输入和过去的输入,该系统就称为因果系统
无记忆系统 ⊂ ⊂ 因果系统
稳定系统:有界的输入对应有界的输出 |x(t)|<M⇒|y(t)|<B | x ( t ) | < M ⇒ | y ( t ) | < B
eg: y(t)=tx(t) y ( t ) = t x ( t ) 不稳定,若对于 ∀t,x(t)=A,A ∀ t , x ( t ) = A , A 为常数,那么 y(t)→∞ y ( t ) → ∞
输入时移,输出时移,形状不发生改变
y(t)=L{x(t)}⇒L{x(t−t0)}=y(t−t0) y ( t ) = L { x ( t ) } ⇒ L { x ( t − t 0 ) } = y ( t − t 0 )
eg:
y(t)=sin[x(t)] y ( t ) = s i n [ x ( t ) ]
y1(t)=sin[x1(t)] y 1 ( t ) = s i n [ x 1 ( t ) ]
x2(t)=x1(t−t0) x 2 ( t ) = x 1 ( t − t 0 )
y2(t)=sin[x2(t)]=sin[x1(t−t0)]=y1(t−t1) y 2 ( t ) = s i n [ x 2 ( t ) ] = s i n [ x 1 ( t − t 0 ) ] = y 1 ( t − t 1 ) ,时不变系统
eg:
y(t)=x(2t) y ( t ) = x ( 2 t )
y1(t)=x1(2t) y 1 ( t ) = x 1 ( 2 t )
x2(t)=x1(t−t0) x 2 ( t ) = x 1 ( t − t 0 )
y2(t)=x2(2t)=x1(2t−t0)≠y1(t−t0) y 2 ( t ) = x 2 ( 2 t ) = x 1 ( 2 t − t 0 ) ≠ y 1 ( t − t 0 ) ,时变系统
{f1(t)→y1(t)f2(t)→y2(t)⇒f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t) { f 1 ( t ) → y 1 ( t ) f 2 ( t ) → y 2 ( t ) ⇒ f 1 ( t ) + f 2 ( t ) → y 1 ( t ) + y 2 ( t )
f(t)→y(t)⇒af(t)→ay(t) f ( t ) → y ( t ) ⇒ a f ( t ) → a y ( t )
af1(t)+bf2(t)→ay1(t)+by2(t) a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) → a y 1 ( t ) + b y 2 ( t )
eg:
y(t)=tx(t) y ( t ) = t x ( t )
y1(t)=tx1(t) y 1 ( t ) = t x 1 ( t )
y2(t)=tx2(t) y 2 ( t ) = t x 2 ( t )
x(t)=Ax1(t)+Bx2(t) x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t )
y(t)=tAx1(t)+tBx2(t)=ty1(t)+ty2(t) y ( t ) = t A x 1 ( t ) + t B x 2 ( t ) = t y 1 ( t ) + t y 2 ( t ) ,线性的