AOE网络与关键路径（一）

1、与AOV网络密切相关的是AOE网络。如果在DAG中用有向边表示一个工程的各项活动，用有向边上的权值表示活动的持续时间，用顶点表示事件，则这种有向图叫做用边表示活动的网络（Activity On Edge），简称AOE网络；

2、由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，所以称开始点（入度为0）的点为源点，称结束点（出度为0）为汇点；

3、AOE网络在某些方面（如工程估算）非常有用，例如，从AOE网络可以了解到以下两点：

（1）完成整个工程至少需要多长时间（假定网络中没有环）？

（2）为缩短完成工程所需的时间，应加快哪些活动？

4、在AOE网络中，有些活动可以并行进行。从源点到各个顶点，以及从源点到汇点的有向路径可能不止一条，这些路径的长度可能也不同。完成不同路径上每个活动所需的总时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，所需时间为这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就成为关键路径；

5、要找出关键路径，必须找出关键活动（不按期完成就会影响整个工程完成的活动）；下面定义几个与计算关键活动有关的量：

（1）事件Ei的最早可能开始时间，记为Ee[i]，是从源点E0到顶点Ei的最长路径长度；

（2）事件Ei的最迟允许开始时间，记为El[i]，是在保证汇点En-1在Ee[n-1]时刻完成的前提下，时间Ei的允许最迟开始时间，即El[i]=Ee[n-1] -（Ei到En-1的最长路径长度）；

（3）活动ak的最早可能开始时间，记为e[k]。设ak在有向边上，则e[k] = Ee[i]；

（4）活动ak的最迟允许开始时间，记为l[k]，是不会引起时间延误的前提下，该活动允许的最迟开始时间，即l[k] = El[j] - dur()，其中dur()是完成活动ak所需的时间，即有向边的权值；

6、l[k]-e[k]是表示活动ak的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量，也叫做松弛时间，l[k] == e[k]表示活动ak没有时间余量，是关键活动；

7、分析关键路径的目的，是要从源点E0开始估算每个活动，辨明哪些是影响整个工程进度的关键活动，以便科学地安排工作；

8、为了找出关键活动，就需要求得各个活动的e[k]与l[k]，以判别二者是否相等；而为了求得e[k]与l[k]，就要先求得从源点E0到各个顶点Ei的Ee[i]和El[i]。下面分别介绍求Ee[i]、El[i]、e[k]、l[k]的递推公式：

（1）Ee[i]：从Ee[0] = 0开始，向前递推：

（2）El[i]：从El[n-1] = Ee[n-1]开始，反向递推：

（3）e[k]和l[k]：设活动ak对应的带权有向边为，它的持续时间是dur()，则有e[k] = Ee[i]；l[k] = El[j] - dur()；

9、根据上面的分析，可以得到计算关键路径的算法如下：

（1）输入m条带权的有向边，建立邻接表结构；

（2）从源点E0出发，令Ee[0] = 0，按拓扑有序的顺序计算每个顶点的Ee[i],i=1,2,...,n-1。若拓扑排序的循环次数小于顶点数n，则说明网络中存在有向环，不能继续求关键路径；

（3）从汇点En-1出发，令El[n-1] = Ee[n-1]，按逆拓扑有序顺序求各顶点的El[i],i=n-2, n-3, ..., 0；

（4）根据各顶点的Ee[i]和El[i]，求各条有向边的e[k]和l[k]；

（5）对网络中的每条边，若满足e[k] == l[k]，则是关键活动；求出所有关键活动并输出；

Ps：写了这么多相关知识...累死我了。下一篇具体实现求关键路径的算法~