最小二乘蒙特卡洛模拟方法-美式期权定价

对于最小二乘蒙特卡洛模拟方法，相信很多人刚开始都搞不清楚到底是怎么回事，特别是对于非金融专业的同学来说，解决此类问题有点吃力，但解决美式期权定价问题，此方法被广泛使用，下面给出介绍：
由于美式期权允许期权持有人在期 权到期日之前的任何时刻执行期权，我 们无法用经典的Black-Schols公式为 其定价，所以，对美式期权的定价通常只 能采用数值分析的方法。常用的期权定 价数值方法有三类，包括二项式方法、有 限差分方法和蒙特卡洛模拟方法。其中， 二项式方法和有限差分方法采用逆向求 解的方法，可以用于为美式期权定价。但 是，这两种方法均不适合处理具有多个 标的资产的期权定价问题。这是因为当 期权的标的资产不只一种时，采用二项 式方法和有限差分方法会因为栅格（或 节点）数量的急剧增加而变得不可行。而 且，这两种方法也无法处理期权的收益 依赖于标的资产价格历史信息（即路径 依赖）的期权定价问题。与这两种方法不 同，蒙特卡洛模拟方法在处理多个标的 资产和路径依赖期权定价问题方面具有 明显的优势。
然而，由于蒙特卡洛采用的是正向 求解的方法，我们无法计算在每个时刻 继续持有期权的期望收益，从而无法比 较在该时刻立即执行期权的收益与继续 持有期权的期望收益，进而无法决定是 立即执行期权还是继续持有期权。所以， 直到几年前，人们还认为蒙特卡洛方法 只适合为具有固定执行时间的欧式期权 定价，而不适合为美式期权定价。近年 来，随着数理金融学的发展，出现了一些 运用蒙特卡洛方法模拟美式期权定价的 算法。其中，影响最大的是由 longstaff和 schwartsz 提出的最小二乘蒙特卡洛 (LSM)模拟方法，该方法已成为目前使用 蒙特卡洛模拟美式期权定价的标准方 法。

 1. 在有 限个离散的时间点上，根据标的资产价 格的模拟样本路径在每个时刻的截面数据(根据资产价格公式模拟多条路径的不同时刻的资产价格）
 2. 计算每条样本路径的*最优执行时间*和*期权收益* 
 3. ：对每条样本路径的期权收 益贴现并求均值

其中最难理解的便是第二步，下面给出一个实例便于理解，可以把程序跑一便试试

clear
clc
s0=1;                    %资产初始价格
r=0.06;                   %无风险利率
a=0.2;                     %波动率
t=1;                      %间隔时间
b(3)=[0];
maxtrix(8,3)=0;         %定义一个矩阵便于存放后面计算的样本路径，即为模拟样本路径
%模拟一条路径上的3个不同时刻的资产价格
for m=1:8      %模拟8条路径
for i=1:3    %时刻
c=randn(1);%c表示随机数
%s=exp(log(1)+[(r-a^2/2)*t+a*sqrt(t)-c]*i)%这个算法计算的值太大，所以采取迭代
s=s0*exp([(r-a^2/2)*t+a*sqrt(t)-c]);
b(i)=s;
s0=s;
end
b;
matrix(m,:)=b;
end
matrix

以上得出样本路径后，我们将所有样本路径在时刻i的价 格 s作为 x值，将对应的样本路径上的 未来收益作为 y值并采用最小二乘法 进行回归，求得回归系数a1,a2,a3;
为了求解每条样本路径上的最优执 行时间和相应的期权收益，我们从最后 阶段（即到期日）开始。在到期日，期权执行的决策很简单：执行期权当且仅当期权是溢价的（对看跌期权，即 执行价格X大于资产价格S），此时，执行期权的收益为 max（X-S,0);，但是， 是否真的执行期权，我们还要考虑继续 持有期权至到期日的期望收益，所以将此时的资产价格S代入上述回归方程就得到期望收益，再进行比较来判断是否执行期权；
重复上述操作向前推进时间，最后得出行权现金流量矩阵和行权贴现矩阵，求出贴现矩阵的平均值即为期权价格！