[算法] 最长公共子序列

问题

• 一个序列 S S 任意删除若干个字符得到新序列 T T ，则 T T 叫做 S S 的子序列；
• 两个序列 X X 和 Y Y 的公共子序列中，长度最长的那个，定义为 X X 和 Y Y 的最长公共子序列(LCS，Longest Common Subsequence)：
  
  • 字符串 13455 13455 与 245576 245576 的最长公共子序列为 455 455
  • 字符串 acdfg a c d f g 与 adfc a d f c 的最长公共子序列为 adf a d f
• 注意区别最长公共子串(Longest Common Substring)
  
  • 最长公共子串要求连续

分析

暴力求解法

• 假定字符串 X X 和 Y Y 的长度分别为 m m ， n n ;
• X X 的一个子序列即下标序列 {1，2，...，m} { 1 ， 2 ， . . . ， m } 的严格递增子序列，因此 X X 共有 2m 2 m 个不同的子序列；同理， Y Y 有 2n 2 n 个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间 O(2m∗2n) O ( 2 m ∗ 2 n ) ；
• 对 X X 的每一个子序列，检查它是否也是 Y Y 的子序列，从而确定它是否为 X X 和 Y Y 的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列；

LCS解法探索

LCS的记号

• 字符串 X X ，长度为 m m ，从1开始数；
• 字符串 Y Y ，长度为 n n ，从1开始数；
• Xi=<x1,...,xi> X i =< x 1 , . . . , x i > 即 X X 序列的前 i i 个字符( 1≤i≤m 1 ≤ i ≤ m )( Xi X i 不妨读作字符串 X X 的 i i 前缀)；
• Yj=<y1,...,yi> Y j =< y 1 , . . . , y i > 即 Y Y 序列的前 j j 个字符( 1≤j≤n 1 ≤ j ≤ n )(字符串 Y Y 的 j j 前缀)；
• LCS(X,Y) L C S ( X , Y ) 为字符串 X X 和 Y Y 的最长公共子序列，即为 Z=<z1,...,zk> Z =< z 1 , . . . , z k > ；
  
  • 注意：事实上， X X 和 Y Y 可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此， LCS(X,Y) L C S ( X , Y ) 严格的说，是个字符串集合。即 Z∈LCS(X,Y) Z ∈ L C S ( X , Y ) ；

若 x_m=y_n