《现代通信原理学习》（二）随机信号分析

    本文主要分享我对“随机信号分析”这一课的学习心得，包括：知识图谱和重点扩展。

一、知识图谱

二、重点扩展

1，概率分布函数和概率密度函数

    官方的解释，可以参照“wiki”，包括“离散型”和“连续型”的概率分布函数。

     通俗来说，概率分布函数描述的是“落在连续单区间”（想象成点）的概率。由于它是左边开口的单区间，F(x)必然随x正增长。此外，概率分布函数，将“离散型”和“连续型”的随机变量统一了起来。

    前面说了，F(x)必然随x正增长，概率密度函数f(x)研究的则是“增长的速率”，或者说是F(x)曲线的斜率（slope）的曲线。f(x) = dF(x) / dx，从这个表达式可以看出它是斜率曲线。由于F(x)是不减函数（只增不减），f(x)必然为非负函数。此外，从积分的角度来看，f(x)曲线与x轴围成的面积等于1，即整个概率空间。

2，多维概率分布

    多维概率分布主要用于研究包含多个随机变量的系统，一般以概率密度函数f(x)为对象，从多重积分的角度来进行研究。典型的系统是“二维概率分布系统”。

3，随机变量的数字特征

    从统计学的角度来研究信号，包括：

1）数学期望：统计平均值

2）方差：偏离中心的程度，这个中心就是“数学期望”。

3）相关矩

4，通信系统中常见的概率分布

    自定google，主要熟悉它的名字、概率分布函数曲线和概率密度函数曲线

1）均匀分布

2）正态分布（又称“高斯分布”），标准正态分布N(0,1)

3）瑞利分布和莱斯分布

5，随机过程

    概率论研究“静态”的统计规律，即随机变量的取某个值的概率，可以用一条曲线F(x)表示。随机过程研究的则是“动态”的统计规律，它是N多条曲线的集合，这些曲线是时间的曲线，称为“样本函数”。

    一句话总结“随机变量”和“随机过程”：随机变量是描述取某个值的概率；随机过程是描述取某个样本函数的概率。

    随机过程是随时间变化的，它的分布函数只能表示某个瞬间，不具太大的研究价值，但它的数学特征则具有极大的研究价值。

1）数学期望：样本函数曲线的中心曲线

2）方差：各个样本函数曲线偏离中心曲线的程度

3）协方差和相关函数

6，平稳随机过程

    官方定义是：它的n维概率分布函数与时间的起点无关。

    典型的就是“周期函数”，通信中碰到的随机过程，一般都是平稳随机过程。

    平稳随机过程的数字特征：数学期望 - a，方差 - σ，自相关函数 - R(τ)。平稳随机过程的数学期望和方差是与时间t无关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所选时间起点无关。

    广义“平稳随机过程”：若随机过程的数学期望和方差与时间t无关，并且它的自相关函数只与时间间隔τ有关，而与所选的时间起点无关，则称次随机过程为“平稳随机过程”。

扩展：

随机信号功率谱密度估计

http://www.cnblogs.com/xzd1575/articles/3754357.html

welch周期图法 http://www.ilovematlab.cn/thread-275904-1-1.html

7，Wiener-Khintchine theorem

    随机平稳过程的自相关函数和功率谱密度是一对傅立叶变换。

8，遍历平稳随机过程

    遍历平稳随机过程的某一实现的时间平均值可以代替该随机过程的统计平均值。

9，线性系统

    平稳随机过程通过线性系统。如果输入是正态过程，通过线性系统，输出也是正态过程，但是它的数学特征发生了改变。

10，高斯噪声

    如果随机过程n(t)的任意n维分布函数或概率密度函数均服从高斯分布，我们称这类随机过程为高斯过程或高斯噪声。

    高斯白噪声：噪声的功率谱密度是一条水平直线，通过傅立叶变换可知，它的自相关函数为一个冲激函数。

    窄带高斯白噪声：fC >> B