【模板】树状数组（详解）

转自zP1nG

树状数组可以解决什么样的问题

对于包含n个元素的整数数组a，每次可以
1. C(i, j): 修改一个元素a[i] = j
2. Q(i): 询问前缀Si=a1+a2+…+ai的值

lowbit值

在说树状数组之前，我们不得不说一下lowbit值
设c[i]=a[i-2k+1]+…+a[i],其中k为i在二进制下末尾0的个数
令LOWBIT(i)=2^k
例如, i=1001010110010000, 则k=4
因为补码的原理是:正数变负数时,按位取反 末位加一
所以对于正数x 我们不难得到lowbit公式: lowbit(x)=x and -x

树状数组是一个动态维护前缀和的数据结构

网上最“火”的图应该是这个

修改操作

当修改c[x]时, 可能有很多c随之修改
例如,对于x=76=01001010，可以得到：
p1= 01001010
p2= 01001100
p3= 01010000
p4= 01100000
p5= 10000000
所以
•P1=x
•Pi+1=Pi+LOWBIT(Pi)
则需要依次修改C[p1],C[p2],…

询问操作

如何计算A[1]+…+A[x]？
首先累加C[x], 因为它的定义是以x结尾的连续和,它的连加起点是C[i-LOWBIT(i)+1]
因此问题转化为了求A[1]+…+A[i-LOWBIT(i)]
由此, 我们得到递推式
•P1=x
•Pi+1=Pi-LOWBIT(Pi)
则只需要累加C[p1], C[p2], …

清晰一点就像这样

P3374 【模板】树状数组1

代码模板

#include
using namespace std;
int n,m,a[500001],b[500001],low[500001];
inline void add(int x,int z){
    for(int i=x;i<=n;i+=low[i])
    b[i]+=z;
}
inline int qh(int x){
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=low[i])ans+=b[i];
    return ans;
}
int x,y,z;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)low[i]=i&(-i);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(x==1){
            add(y,z);
        }
        else{
            printf("%d\n",qh(z)-qh(y-1));
        }
    }
    return 0;
}